其中， 是系统的状态变量， 是外部扰动输入， 是系统的被调输出。
平方和信号 的大小可以用 范数来度量： ，其中 。
若使离散系统（2.2.1）的EE增益满足：  常数 。可将问题等价转化为  
                       ，                 （2.2.2）
求解过程可以转化成为LMI求得一个最小值 ，这样一个值 成为系统（2.2.1）的最优 性能指标。这些都是可以证明得到的 。
定义2:如果系统（4.1.1）是指数稳定的，并且在零初始条件下，对 有    成立，则称该系统具有满足 的 性能。
2．4 平均驻留时间
对于所有子系统都是稳定的切换系统，我们只要使得其切换时间间隔不小于 ，就能使得整个系统稳定，这个时间间隔 我们称之为驻留时间。驻留时间的方法在线性系统取得了巨大的应用。但是这种方法在非线性的情况下经常是不适用的，因为可能存在有限的逃离时间，所以引申出了平均驻留时间 的方法，对于切换系统，它是一种非常重要且有效的工具。
定义3:在切换信号 的作用下， ，我们定义 为在时间 内切换信号 的切换次数，如果对 ，有  ，我们称 为平均驻留时间。
3  时滞切换离散系统的指数稳定性分析
3．1  问题的描述
    考虑下面的时滞切换离散系统
其中， 是状态变量， 是时滞状态变量，并且假设 ，输出 ， 是系统（3.1.1）的初始状态。定义 为自然数集，切换信号 。
    系统（3.1.1）的切换规则 如下
                              （3.1.2）
其中， 是切换时刻，并且有 是初始时刻。也就是说，当 时，第 个子系统有效。
定理1：如果存在 矩阵 ， ， ，常数 和任意 使得对 都有
那么时滞切换离散系统（3.1.1）在满足平均驻留时间
的切换信号 是指数稳定的。需要补充的是若 ，则 ，等价于公共Lyapunov函数法，满足于以上条件的系统在任意切换信号下都是指数稳定的。
3．2  证明及分析
    因为矩阵  ，所以矩阵  0成立，那么就有
将（3.2.13）加到 （3.2.12）中，得到
    将（3.2.3）~（3.2.7）带入其中  ，将（3.1.3）通过Shur补性质转化 =  ,所以可得  ，即 。
由（3.1.5）得对于 有                    。   
假设，在k时刻一共经过  次切换，即 ，其中 是平均驻留时间，那么我们可得
取  ，得平均驻留时间 ，取
 + + ，我们可以得到 。即系统（3.1.1）指数稳定得证。
 3．3  仿真分析
    考虑时滞切换离散系统（3.1.1），其中令 ， ， ,
                   ,
使用MATLAB里的LMI工具箱可以求出 ，由（3.1.4）得 =3.09，
    我们选择 ， 仿真结果如下： 图3.3.1 切换信号 图3.3.2 系统状态轨迹    图3.3.3 系统输出
    由上图可见，在平均驻留时间大于3.09的切换信号（图3.3.1）的工作下，由图3.3.2可见该系统的状态变量是逐渐趋于并且达到平衡状态 的，相应的输出y最终为0，整个系统是指数稳定的。 MATLAB切换时滞系统控制器的设计和仿真(4):http://www.751com.cn/zidonghua/lunwen_9219.html