图2.2 CCET侵彻模型（左）和SCET侵彻模型（右）
柱型空腔膨胀理论与球型空腔膨胀理论的共同点是：①靶体是均匀半无限厚靶；②涉及的侵彻问题为一文问题；③弹丸在侵彻过程中保持刚性；④弹丸头部的法向压力分布符合空腔膨胀理论的空腔表面径向应力分布；⑤空腔膨胀速度 和空腔表面法向应力 之间的关系都可以用下式表示：
         （2.20）
式中： ； 为靶体材料密度； 为靶体材料体积模量； 、 是空腔膨胀理论确定的材料常数，反应靶体材料本构特征，对于同一靶体本构模型，柱型理论与球型理论得出的系数是不一样的。
2） 空腔膨胀问题的求解
基于不同假设条件、强度理论及屈服准则的空腔膨胀问题的求解与公式推导都比较繁琐，在此，本文仅给出几个常见的空腔膨胀模型的最终求解的 ， 值。
I    假设：①混凝土介质为各向同性、均匀半无限弹塑性材料；②各响应区是球对称的；③材料塑性区的压力——体积应变响应以锁定静水压表示，弹性区是不可压缩，材料屈服准则采用Mohr-Coulomb准则。蔺建勋等人推出的公式如下：
 
    其中     （2.21）
由上式可见： ， 是与材料的屈服极限 、材料强化模量 、锁定体积应变 以及材料的弹性模量 有关的量，在已知靶板材料参数的条件下，可确定出球形空腔以速度 膨胀时空腔表面的应力。
II    假设：①混凝土介质碰撞响应为锁定弹塑性，具有线性可压应变硬化（材料在弹性区和塑性区的密度保持不变）；②作用在弹丸上的压力等于空腔膨胀压力；③侵彻深度远大于弹丸直径；④对称空间沿球形弹丸表面的动态压力遵循余弦变化；⑤颗粒速度在弹性区为零。Hanagud与Ross推导出如下公式：
 
    其中     （2.22）
式中： 为锁定塑性变形区密度； 为线弹性硬化正切模量； 为空腔半径； 、 分别表示材料的剪切模量和屈服强度。公式显示，球形空腔膨胀压力依赖于空腔半径、空腔膨胀速度和加速度。Hanagud and Ross认为公式适用于弹塑性材料，但实际情况仅适合于塑性材料，因为靶介质速度在弹性波通过后假定为零。
III    假设：①空腔膨胀速度为常数；②混凝土靶介质点的速度、位移及应力在各边界上连续；③所有的边界（塑性区－破碎区、破碎区－弹性区）以定常速度传播；④非定常空腔膨胀速度与空腔膨胀压力之间的关系可以通过在不同空腔膨胀速度下的叠加解求得。Forrestal and Tzou给出了在不同模型下的求解公式：
         （2.23）
    其中     （2.24）
式中： ； 是弹性破裂边界的传播速度， ， ； 是靶材料的拉伸强度； ， 是材料常数。他们认为所有的参数可通过反向推导得出，所谓的反向推导即：首先要赋予 任意值，从而计算出 及 值，在常膨胀速度条件下可以求得最终 ，通过两方程组能够确定四个参数（ ， ， 以及 ）。这里存在的问题是 取值的范围，其值决定了弹性区和破裂区的边界传播速度，此速度应受裂纹的传播控制而非任意值，方程组表明 是 、 和 的函数，若给定 ，关系式变为 ，也就是说对于常值 ， 。因此，反推过程仅通过 得到无穷多解中的一个解。
2.4.2  弹体阻力分析
1） 弹体头部阻力分析[19]
根据库仑摩擦定律，作用在弹头表面切向摩擦力可以表示为：
         （2.25）
 为滑动摩擦系数，侵彻深度和过载对该系数很敏感，实际侵彻过程中， 值大小应与弹体速度、弹靶体材料性能有关，文献给出如下线性经验公式： ANSYS高速弹丸侵彻规律的研究仿真(6):http://www.751com.cn/jixie/lunwen_9431.html