目    录
摘  要    1
引言    1
1. 函数项级数的几个概念    3
1.1 函数项级数的收敛性    3
1.2函数项级数的一致收敛性    3
1.3幂级数的定义    3
2. 函数项级数的收敛性判别法    3
2.1 一致收敛的柯西准则    3
2.2 确界判别法    4
2.3 魏尔斯特拉斯判别法    4
2.4 阿贝尔判别法    4
2.5 狄利克雷判别法    4
3. 函数项级数的应用    5
3.1 函数项级数在数学分析中的应用    5
3.2 函数项级数在复变函数中的应用    10
3.3 函数项级数在微分方程中的应用    10
3.4 幂级数在生活中的应用    11
结束语    12
参考文献    14
致谢    15
函数项级数的收敛性判别法和应用
1. 函数项级数的几个概念[1]
1.1 函数项级数的收敛性
    定义1  设
                                 （1）
定义在 上的函数项级数，若 ,数项级数
                                   （2）
收敛,即部分和 ,当 时极限存在,则称级数(1)在点 收敛, 称为级数(1)的收敛点.
1.2函数项级数的一致收敛性
    定义2  函数项级数一致收敛的定义
设 是函数项级数 的部分和函数列,若 在数集 上一致收敛于 ,则称 在 上一致收敛于 .若 在任意闭区间 上一致收敛,则称 在 上内闭一致收敛.
1.3幂级数的定义
    定义3  由函数序列 所产生的一类函数项级数.
              （3）
我们把这类函数项级数称为幂级数, 是任意给定的实数, 称为该幂级数的系数.
    我们所讨论的幂级数多数是在 时的情况,即
                                   （5）  
2. 函数项级数的收敛性判别法[2]
2.1 一致收敛的柯西准则
    函数项级数 在数集 上一致收敛的充要条件为:对任给的正数 ,总存在某正整数 ,使得当 时,对一切 和一切正整数 ,都有
 ,
或  .
2.2 确界判别法
    函数项级数 在数集 上一致收敛的充要条件是
 ,
其中                        ,
称为函数项级数 的余项.
2.3 魏尔斯特拉斯判别法
   设函数项级数 定义在数集 上, 为收敛的正项级数,若对一切 ,有
 ，
则函数项级数 在 上一致收敛.
2.4 阿贝尔判别法
定义在区间 上的函数项级数
                   （6）
设            在区间 上一致收敛;
             对每一个 , 是单调的; 函数项级数的收敛性判别法和应用(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_37099.html