1.一元函数微分中值定理中值点的性质
1.1一元函数微分中值定理中值点的连续可导性
1.1.1泰勒中值定理中值点的连续可导性
引理1.（泰勒中值定理）若函数 在开区间 上存在直到n+1阶导数， 则对任意 ，都有：              （1）
其中有 介于 之间。38315
    定理1  如果函数在开区间  上直到n+1阶导数， 在开区间 上严格单调，那么时满足（1）式的 是x的单值函数。
证   对任一 ， ，有 同时符合（1）式，即有论文网
则有 因为 在开区间 内严格单调，所以 ，故 时是小的单值函数。
定理2  如果函数 在开区间 内存在直到n+2阶导数，并且 在开区间 内恒成立， 为常数， 那么 时满足(1)式的 是x的连续函数。
证   设在 内恒成立  , 那么 在 内严格单调递增,结合定理1, 时满足(1)式的 是x 的单值函数, 记 =  (x).
任意取x,
 那么  (1)式即为
 其中有 介于 之间.又有
其中  之间。于是，得
            (2)
 在 构成的区间上满足拉格朗日中值定理条件，所以有
 由(2),(3)式，可得
 因为 所以
 
因为x的任意性， 在区间 内连续。
定理3  若函数 在 内存在直到n+2阶连续导数，并且 在 内恒成立， 为常数， 那么 时满足(1)式的 是x的可导函数，并且
 
证  设在 内恒成立 ，则由定理2， 时满足(1)式的 是x的连续函数。
任意取一x,
 
则由定理2证明中的(4)式，有   
其中有 介于 之间， 之间， 之间。
因为 在点x连续，故 时， 从而 .又 在开区间 内连续，所以 所以， 微分中值定理中值点性质的探讨:http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_37266.html