1.4 平衡点与稳定性的定义

对于不同系统，初始值的微小变化会产生不同的影响。例如以下初始值问题

的通解为  。  是（1）的其中一个解，我们称之为零解。当  时，只要 ，无论 多小，当  时，总有  ，也就是说初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当 时， 与零解的误差小于等于初始误差  的值，且误差随着  的增加很快就会消失，因此我们得到当 很小时，  与零解的误差也会很小。以上例子表明当 时，方程（1）的零解是“不稳定的”，而当 时（1）的零解是“稳定的”。下面我们就可以得到微分方程零解稳定的严格定义。

设微分方程 （2）

满足解的存在唯一性定理的条件，此方程的解  的存在区间是  ，  还满足条件    （3）

条件（3）保证了  是微分方程（2）的解，我们称之为方程的零解。

    定义1  若对于任意给定的  ，都可以找到  ，使得当  时，方程（2）的解 满足