因为 ，要证 就是要证明 在定义区间上为严格单调递减函数. 

而 .因为      故 .

所以  .

因而在 内恒有 ,

所以 在区间 内严格递减.

又因为 ,可知 .

即 .

所以 

2.2 利用函数的最值证明不等式

如果 是函数 在某区间上的最大（小）值，则有 （或 ），那么要证不等式 （或 ），只要求函数的最大值不超过0（或最小值不少于0），就可得证.

例2 证明：当 时， .

为了利用函数最值来证明此题，不妨将不等式的右边变形为 .构造函数 .那么要证明 .即证明 在区间 上的最大值都小于等于0. 而函数 的最值问题又可以通过导数来判断.

     ，则 . .源/自:751:`论~文'网www.751com.cn

    当 时， ，当 时， .

   从而 在 处取得最大值，有 ，又因为 .

   所以  .不等式右边得证.

   同样的道理，对于不等式的左边，可将不等式变形为 .

   构造函数 ，此时不等式证明将转化为证明 在 上的

最小值都大于等于0.而函数 的最值问题又可以通过导数来判断.

    则 ＝ ． 

   当x∈（－1，0）时， ＜0，当x∈（0，＋∞）时， ＞0．  

   因而当 时， ≥ ，即  ≥0.

   所以  ．不等式右边得证.

   综上可知，当 时，有 ．   

2.3 利用泰勒公式证明不等式

对于一般函数 ，设它在点 存在直到 阶的导数.由这些导数构成一个 次多项式

称为函数 在点 处的泰勒（Taylor）多项式， 的各项系数 称为泰勒系数.

定理3  若函数 在 上存在存在直至 阶的连续导数，在 内存在 导函

数，则对任意给定的 ,  ,至少存在一点，使得