摘 要：对自然数n>2，令f0(n)是使得Cnk>2n/n成立的最小正整数k，f1(n)是使得Cnk >2n/(n+1)成立的最小正整数k，本文给出了f0(n)和f1(n)的四个新的性质.

毕业论文关键词：序列，二项式系数，不等式54248

Abstract：For a positive integer n>2, let f0(n) be the least positive integer k such that Cnk>2n/n  and let f1(n) be the least positive integer k such that Cnk >2n/(n+1). In this paper we give four properties of f0(n) and f1(n) .

Keywords：sequence, binomial coefficient, inequality

目   录 

1 引言   4

2 定理1的证明   5   

3 定理2的证明   5

3.1 引理 5

3.2 定理2的证明 6

4 定理3的证明   6 

5 定理4的证明   6

5.1 引理 6

5.2 定理4的证明 7

结论 12

参考文献 13

致谢  14

1  引言 

在本文中，N为正整数集， 为正整数， 为不超过 的最大整数， 为大于或等于 的最小整数.对于 和 ，我们有

 ，从而 .

由当 时， 得 .

对 ，我们定义 为使得 成立的最小正整数 , 为使得 成立的最小正整数 .由定义知 .

在文献[1]和[2]中，孙智宏与D.Kim给出了 与 的一些性质.如有：

性质1  当 时， 且 .

性质2  当 时， 且 .

性质3  当 时， .

性质4  当 且 时， 且 .

性质5  当 时， ， .

性质6  当 时， .

本文进一步研究 与 的性质，得到如下四个定理：

定理1  设 ，则存在 ,使得 .

定理2  当 时， 和 .

定理3  当 ， 时， .

定理4  设 ， ，则 .

2  定理1的证明

定理1  设 ，则存在 ,使得 .

证明：对 施行数学归纳法.当 时，由于 ，故等式成立. 假设 时，存在 ,使得  现在考虑 的情形.先假定 . 因为 时，等式成立.所以只需考虑 的情形，先假设 ，由于 等式成立,而 时，由性质1和性质5知 ， ，等式也成立,故在此假设下等式是成立的.再假设 ，则由性质4可知  =k， (n+3)=

 =k+1,从而有  ,故等式成立.由上述可知在此假定下等式是成立的.再假定 ，则由性质4可知 ， =

 ，从而有 ，故等式成立.由上述知当 时，存在 使得 根据归纳法知 时，存在 使得 .

推论1  设 ，则存在 ，使得 .源'自:751`!论~文'网www.751com.cn

推论2  设 ，则存在 ，使得 .

推论3  有无穷个 使 .

证明：假设有 个 使 ，即可设 ，

其中 ，则有 .由性质4知 ,  ,

即 与 矛盾，故假设不成立，从而有无穷个 使