摘 要：探讨叶果洛夫定理产生的背景、概念以及如何在实变函数的学习中利用叶果洛夫定理解决相关问题.此外，还给出了叶果洛夫定理使用的注意点、与叶果洛夫定理等价的两个定理，帮助学生更好地理解、掌握叶果洛夫定理，从而提高学生对数学概念的理解，更好的运用叶果洛夫定理解决数学问题.59005

毕业论文关键词：实变函数,叶果洛夫定理,一致收敛 

Abstract：We consider Egoroff theorem’s background,concept and how to use Egoroff theorem in real variable function. More over, in order to help students understand and grasp the Egoroff theorem ,we give Egoroff theorem’s attention and two equivalent theorems.

Keywords：real variable function,Egoroff theorem,uniform convergence

1 前言 3

2 叶果洛夫定理的证明方法与注意事项 3

3 叶果洛夫定理的应用 7

参考文献 10

致谢 11

1  前言

以实数作为自变量的函数叫做实变函数,以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论.它是微积分学的进一步发展,它的基础是点集论,即专门研究点所成的集合的性质的理论.也可以说,实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的.比如,点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等.实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题.实变函数论研究的对象是定义在可测集上的可测函数类,并使微积分在更宽的条件下，加以运用实分析处理问题的方法.对提高学生的数学思维能力、培养学生的创新精神有很大帮助.详细地论述，见参考书[1-6].

我们知道,在数学分析中,一致收敛的函数列具有良好的性质，例如,在讨论一个连续函数列的极限函数的连续性以及可积性与可微性的时候,一般都要求该函数列是一致收敛的.但对有些函数,一致收敛的条件太强,即使它在某个区间上处处收敛,也不可能一致收敛。例如,函数列 就在区间 上并不一致收敛,但是,当我们将区间 的右端任意去掉一个长度为  的小区间后,则函数列 就在区间 上一致收敛,对一般的函数列 ,如果它在可测集 上是几乎处处收敛的,对任意的正数 ,能否在 中去掉一个测度小于 的子集 ,使函数列 在 上一致收敛呢?源[自*751^`论\文'网·www.751com.cn/

20世纪初,俄国数学家叶果洛夫（Egoroff）注意到这个现象,凭借对数学的热爱和痴迷，经过深入研究，得到了著名的叶果洛夫（Egoroff）定理. 后来Egoroff将这个定理发表在巴黎科学院报告上. 

这个定理说明几乎处收敛与一致收敛的关系,同时,这个定理也常常成为人们处理极限问题的有力工具. 因为通过叶果洛夫定理,可以对不一致收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛,而一致收敛却是我们早已经熟悉的. 更多地研究情况,见参考文献[7-9].

这篇文章主要介绍了叶果洛夫定理、叶果洛夫定理的证明方法与注意事项以及它的几个应用.

2  叶果洛夫定理的证明方法与注意事项

为了证明叶果洛夫定理,我们先证明一个引理.

引理  设 是有限测度集 上的一个有限函数列， 在 上有定义且处处有限，则 在 上不收敛于 的一切点构成的集合为

其中, 是一个严格 单调减少并且趋于零的正数列,即证明    设 是使 在 上不收敛于 的任一点,即 ,则存在 及正整数列