我国对数学研究的起步较晚，在微积分这一方面要比国外研究的更少一些，而在分数阶Laplace这一方面更是没有特别丰富的理论作品。

    40年代后，数学家们热衷于对抽象动力系统的拓扑特征的研究,例如结构是否稳定、闭轨是否存在, 对于二维系统，通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否已经得到证明；而对于一般系统这个问题一直未解决。在动力系统理论方面, 我国著名数学家廖山涛教授, 用从典范方程组到阻碍集一整套理论和方法, 解决了一系列主要问题, 特别是C’封闭引理的证明, 对结构稳定性的充要条件等方面都作出了主要贡献。

我们从解析解、近似解和基本理论三个方面的发展进行简单介绍：

    (1) 解析解：首要目标仍然是求解分数阶微分方程的解析解，求解的方法有很多，通常运用比较多的是应用各种推广的特殊函数，如分数Bessel函数，分数Green函数，Mittag-Leffler函数，Wright函数以及Weyl变换等，积分变换和级数解法依旧是求解解析解的重要工具。

(2) 近似解：在应用上，有时分数阶微分方程的初值问题的近似解也是很有效的。在这方面，有很多计算的方法被改造使用。又由于分数阶是迭代的过程更为复杂，所以还引入了“短暂记忆原理”。

(3) 基本理论：作为对经典微分方程基本理论的推广，我们考虑分数微分方程的初值问题：         o =f(t，z)，                                (1)

         = ,k=1,2…,n,                         (2)

其中

       o ﹒ o   ,   ﹒…o  ,

           =   ,k=1,2,…,n;      0﹤  1, j=1,2,…,n.        

设f(t,x)定义在（t，x）平面的区域G中，选取常数h和k，使区域R（h，k） G，

         R(h,k):0﹤t﹤h,︱ x(t)- ︱ k,         (3)

则有如下的存在唯一定理。

定理 1    设f（t，x）是定义在G上的实值连续函数，在G中关于x满足Lipschitz条件 

           ︱f(t, )-f(t, )︱ A︱ ︱,       (4)

使得

          ︱f(t,x）︱ M﹤ ,  (t,x)  G,  且   k  

则在区域R(h,k)中存在问题（1）、（2）的唯一连续解。

列出这个定理是表明分数微分方程的初值虽然复杂些，但建立基本理论的方式大体没变。

与常微分方程类似，证明解的存在定理的同时，能给出求解的方法。例如，当f（t，x）= x（t）， 时，初值问题

             ，                                   (5)

 .                       (6)  

取一次近似为

 ，                          (7)

 .      (8)

由（8）取极限，便可得到问题（5）、（6）的用Mittag-Leffler函数表示的解析解。

关于对于初始条件的连续依赖性，Al-Bassam有一个结果。文献综述

设 （k=1，2，…，n）为任意常数，初始条件（1）的扰动记为

             .                  (9) 分数阶Laplace方程的一种解释(3):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_72797.html