现在仍然有许多学者研究周期函数，研究周期函数的定义，周期函数最小正周期的存在条件，周期函数的对称性研究，概周期型函数和遍历性理论研究及应用发展等等。我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如 等。但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。那么，什么样的周期函数一定存在最小正周期？

    在日常生活中，我们常常会遇到周期现象，即经历了一定时间后恢复到原来状态的现象，如声波的振动，钟摆的运动，人的心脏跳动等等。具有周期现象的物质的运动，其特点是周而复始。物理学中把物质在等时间内作往复的运动称之为周期运动。研究这些周期现象，在数学中用函数表述，这种函数叫做周期函数。周期就是研究周期函数的重要概念之一。

    如正弦函数的值始终与角的终边的所在位置有关，终边每转一周，正弦函数的值就又重新回到原来的值。那么这种周期现象在数学里如何去描述呢？

     即 ，更有一般地 ，即 。将 抽象为 ，就可以得到周期函数的定义。

    对于函数 如果存在一个常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 成立，那么函数 叫做周期函数，常数 叫做这个函数的周期。如果在所有周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期[1]。

以上内容是我们在高中就已经非常熟知的。在理解周期函数和周期的定义时，需要注意的几点，因为这些点看似容易理解，但等到做题时又经常会犯错。比如：周期函数定义中的“每一个值”非常值得注意，这四个字限定了一个条件：等式 必须在 的定义域上恒成立， 才是周期函数， 才是它的一个周期。周期 为非零常数，与自变量的取值并无关系。如果 是 的一个周期，则 也是它的周期，因为 。同样由此可证 ,也是该函数的周期，即 都是 的周期。

在一个周期函数的所有周期中，并不一定存在一个最小的正数，即并不是任何周期函数都有最小正周期。通常说到周期函数，大家脑海里第一个想到的往往是三角函数，但是并不是三角函数才是周期函数。函数 的最小正周期 ，它需要满足两个条件，一是它首先得是一个周期；二是要满足：如果 是 的任何一个正周期，则 。

在前人的基础上，本文将通过对典型例题的分析，总结出了4种判断周期函数最小正周期存在的基本方法，10种周期函数的最小正周期的求法。详细地分析了在初等函数教学中，学生对于周期函数的一些疑难点，以期学生们能够更好地理解周期函数并在今后的研究中加以应用。来.自/751论|文-网www.751com.cn/

2  判断函数周期性的基本方法

首先，要知道一个函数的最小正周期，必定要判断出该函数是否是周期函数，是否具有周期性。下面我们介绍四个基本的判别方法。

方法1    

    对于函数 ，如果关于 的方程 有解，解为 ,与 无关并且不为零，则 是周期函数，且 是该函数的一个周期。

证明    对于常数 ,恒有 成立，根据前面所述的周期函数的定义可知， 为周期函数，并且 是该函数的一个周期。