2 定义及基本公式

定义 ：一条平面曲线围绕其平面上的一条直线而旋转一周所形成的曲面，叫旋转曲面.其中旋转曲线以及定直线依次被叫做旋转曲面的母线及旋转轴.

    基本公式 ：若空间曲面 的参数方程是：    来~自^751论+文.网www.751com.cn/         

其中， 具有连续偏导数。

令：

                                      (2-1)

 .

则有：（ 表示弧长， 表示面积）

                          ,             （2-2）

 .                 （2-3）

3 主要结果及应用举例

3.1 主要结果

定理1  假设空间内的简单光滑曲线 的方程为： 

 ，曲线 绕 轴旋转之后所得到的旋转曲面面积可以分别表示如下：

                                 (3-1)          

证明：在[6]中，王汝亮教授用积分的方法证明了简单空间光滑曲线 绕直线 旋转后所得的旋转曲面面积和围成的立体体积的求法，并推导出简单空间曲线 绕坐标轴 旋转后的旋转曲面面积和围成的旋转体的体积公式，现在我们将利用微分几何曲面的第一基本量加以证明。