y

                                             正方向

                           II                E(C)

                                             负方向

             O                     C                 x

我们称点集A为单连通区域,如果在点集A内的任意一条简单闭曲线,其内部任全含于A;那么非单连通区域就是多连通区域.

(在这里提到的一些复数中的名词如简单闭曲线等我们不再一 一的解释,参考文献[1])

复变函数

复变函数的概念

定义2.2  如果对点集A内的每个复数z,有且仅有一个确定的复数w与之对应,那么我们说在A上确定了一个单值函数w=f(z) (z∈A).

如果存在多个w与之对应,我们就说在A上确定了一个多值函数w=f(z) (z∈A).

例如,w=|z|,w=z^2均为单值函数;w=Arg z (z≠0)是多值函数.

事实上,我们可以把复变函数理解成两个复平面上(这里假设为A和B)的点集(或数集)之间的一种对应关系(或是映射关系或是变换关系).具体来说,就是A中的点z与B中的点w=f(z)之间的对应关系,我们通常把点w称为点z在B平面中的像,而把点z称为点w在A中的原像.

复变函数的极限和连续性

定义2.3  假设w=f(z)是定义在数集A上的函数,z_0是数集A的一个聚点[2], 如果存在一个复数w_0,使得对任意的ε>0,有δ>0,只要0<|z-z_0 |<δ,zϵA,|f(z)-w_0 |<ε成立,那么我们称函数f(z)在A中有极限w_0,通常记成lim┬█(z→z_0@z∈A)⁡〖f(z)〗=w_0 .

其实,对于复变函数的极限的理解并不是很困难,我们可以参考数学分析[3]中关于函数的极限的概念.对于复变函数,我们也是可以从几何的角度去理解.当点z在z_0的充分小的δ去心领域内,那么它的像一定落在w_0 的一个给定的ε-领域内.来~自^751论+文.网www.751com.cn/

对于复变函数的极限我们可以得到以下几个结论:

如果存在极限,那么一定是唯一的;

如果函数f(z)和g(z)沿着数集A在z_0∈A有极限,那么它们的和、差、积、商沿着数集A在z_0仍然有极限,并且其极限值一定等于f(z)和g(z)在点z_0的极限值得和、差、积、商.

定义2.4  假设w=f(z)是定义在数集A上的函数, z_0是数集A的一个聚点,且z_0∈A(这里要注意,极限的定义中并没有要求),如果lim┬█(z→z_0@z∈A)⁡〖f(z)〗=f(z_0 )成立,即对任意的ε>0,有δ>0,只要0<|z-z_0 |<δ,zϵA,|f(z)-f(z_0)|<ε成立我们就称f(z)沿着A在z_0这点连续.

(同极限的定义一样,我们也可以参考数学分析[3]中关于函数的连续的定义.)

定理2.2  假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在数集A上的复变函数, z_0∈A,那么f(z)沿着A在点z_0 (=x_0+iy_0)连续的充要条件是:二元实函数u(x,y)和v(x,y)沿着数集A在点(x_0 、y_0)是连续的[1].