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隐函数存在定理的推广及应用(2)

时间:2017-06-12 19:51来源:毕业论文
如果存在集合I,JE,对于xI,有惟一确定的yJ,使得(x,y)E,且满足方程(1),则称方程(1)确定了一个定义在I上,值域含于J的隐函数.若把它记为 y=f(x) ,xI,yJ, 则


如果存在集合I,J⊂E,对于x∈I,有惟一确定的y∈J,使得(x,y)∈E,且满足方程(1),则称方程(1)确定了一个定义在I上,值域含于J的隐函数.若把它记为
                        y=f(x) ,x∈I,y∈J,
则成立恒等式
                        F(x,f(x))≡0 ,x∈I.
1.2 隐函数存在定理  若函数F(x,y)满足下列条件:
(i) F在以P_0 (x_0,y_0)为内点的某一区域D⊂R^2上连续,
(ii)F(x_0,y_0 )=0(通常称为初始条件),
(iii)F在D内存在连续的偏导数F_y (x,y),
(iv) F_y (x_0,y_0≠0.

  1^∘ 存在点P_0的某领域U(P_0)⊂D,在U(P_0 )上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x_0-α,x_0+α)上的(隐)函数y=f(x),使得当x∈(x_0-α,x_0+α)时,(x,f(x))∈U(P_0),且F(x,f(x)≡0,f(x_0 )=y_0;
   2^∘ f(x)在(x_0-α,x_0+α)上连续.    
1.3 隐函数可微性定理  设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理中的条件(i)——(iv),又设在D上还存在连续的偏导数F_x (x,y),则由方程(1)所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x_0-α,x_0+α)上有连续导函数,且
                       f^' (x)=-(F_x (x,y))/(F_y (x,y)).
1.4 隐函数组定理  若
(i)F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以点P_0 (x_0,y_0,u_0,v_0)为内点的区域V⊂R^4上连续,
 (ii)F(x_0,y_0,u_0,v_0 )=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0 )=0(初始条件),
(iii)在V上F,G具有一阶连续函数偏导数,
(iv)J=(∂(F,G))/(∂(u,v)) 在点P_0不等于零,
则1^° 存在点P_0⊂V,在U(P_0)上,方程组{█(F(x,y,u,v)=0,@G(x,y,u,v)=0,)┤ (1)惟一性地确定了定义在点Q_0 (x_0,y_0)的某一(二文空间)领域U(Q_0)上的两个二元隐函数
                  u=f(x,y),     v=g(x,y),
使得
〖               u〗_0=f(x_0,y_0 )  ,v_0=g(x_0,y_0 )  ,且当(x,y)∈U(Q_0)时
                 (x,y,f(x,y)g(x,y))∈U(P_0),
                 F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0,
                 G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0,
  2^° f(x,y)  ,g(x,y)在U(Q_0)上连续;
  3^° f(x,y)  ,g(x,y)在U(Q_0)上有一阶连续偏导数,且
            ∂u/∂x=-1/J  (∂(F,G))/(∂(x,v)),    ∂v/∂x=-1/J  (∂(F,G))/(∂(u,x)),
          ∂u/∂y=-1/J  (∂(F,G))/(∂(y,u)),    ∂v/∂y=-1/J  (∂(F,G))/(∂(u,y)).
2.隐函数存在定理的推广
2.1 解析函数隐函数存在定理的推广
    二元函数F(z,w)在区域K:|z|≤r,|w|≤d上解析是指F(z,w)能在K上展为收敛的幂级数F(u,v)≤∑_(i+j≥0)▒a_ij  u^i v^j 记M=m_G ax|F(u,v)则|a_ij |≤M/(r^i d^j ) ,i+j≥0.
定理2.11  设F(u,v)在(u,v)=(0,0)解析,满足F(0,0)=0,F_v^‘ (0,0)≠0,则存在W>0及|u|<W上的解析函数v(u)使得{█(F(u,v(u))=0@v(0)=0)  ,|u|<W┤. 隐函数存在定理的推广及应用(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_9105.html
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