（3-2）
循环码可用多项式来表示，为了方便，把最低位作为 ，由右向左顺次为 ，其系数即为相应位的二进制码元。即
                         （3-3）
例如：码字0011101，则它的多项式表示式为x4 +x3 +x2+1。
循环码的i次循环移位等价于相应多项式的i次升幂后取xn-1模后的余数。
                                                                                                                                      （3-6）
循环码的任何一个码字都可以得到全部的码字，所以选用其中最小幂次的多项式作为生成多项式g(x)。它具有如下一些性质：唯一性、首一多项式、常数项为1、码式是xn-1 的因式、最高次数n-k。
（在循环码的条件下，g(x)必定是 的一个因式）。由g(x)可以得到生成矩阵G(x)。
   若 不具备 的形式，则不是典型的生成矩阵，可通过线性变换使其成为生成矩阵G，其中 为k×k单位矩阵。
已知生成矩阵G，编码的方法就确定了。将信息位与生成矩阵相乘便可得到全部码字。即任意循环码的码字都可由G(x)各行的线性组合得到，也即任意循环码的码字可由g(x)与一个因式相乘得到。
循环码 (Cyclic Code)是线性分组码的重要子类，其结构可以用代数方法分析。
定义3.1：一个n重的k文子空间  ，  ，总有
                       （3-7）
则称 为循环子空间或循环码。
若把每一个向量的分量看成是一个GF(q)中多项式的系数，则循环码的每一码字可与一个次数≦n-1的多项式相对应：
  ，        （3-8）
与码字对应的多项式称之为码多项式。一个(n, k)循环码的每一个码字都可以用一个次数≤n-1的多项式表示，其必处在以xn-1为模的某一剩余类中。
定义3.2：若一个码的所有码多项式都是一个次数最低的非零首一多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成元或生成多项式。
定理3.1：GF(q)上的(n, k) 循环码存在唯一的r=n-k次首一多项式g(x)。
定理3.2：(n, k) 循环码的生成多项式g(x)一定是xn-1的因式，即
 。                          （3-9）
综上所述，不难得出如下结论：
(1)  (n, k)循环码的生成多项式是一个次数最低的唯一的首一多项式，其次数r=n-k正好是校验元的位数。
(2) 循环码的每一个码多项式必是g(x)的倍式。若用C(x)表示码多项式，则有C(x) = m(x)g(x)二0 mod g(x)；反之亦然。
循环码具有如下特点：
(1) 循环码具有线性分组的码的一般特性，且具有循环性纠错能力强。
(2) 循环码是一种无权码，循环码编排的特点为相邻数码间只有一位码元不同，因此它具有一个很好的优点是它满足邻接条件，没有瞬时错误。在数码变换过程中，在速度上会有快有慢，中间经过其他一些数码形式，即为瞬时错误。 Matlab循环码在不同信道中性能仿真研究+流程图(9):http://www.751com.cn/tongxin/lunwen_351.html