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Ｔｈｅｒｅ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｍａｎｙ ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｆｉｅｌｄ．Ｓｔａｃｈｏｗｉｃｚ１ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅｆｌａｔｔｅｎｉｎｇ ｒａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎｗｈｉｃｈ ｃｏｎｓｉｄ－ｅｒｅｄ ｔｈｅ ｈａｒｄｅｎｉｎｇ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｂｏｏｓｔｆｏｒｃｅ．Ｅ Ｄａｘｉｎ２ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｌａｔｔｅｎ－ｉｎｇ ｏｆ ｂｅｎｔ ｔｕｂｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｌａｎｅ－ｓｔｒａｉｎ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｗａｓ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ．Ｈｏｗｅｖｅｒｔｈｅｔｕｂｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｆｏｒｍｉｎｇ ｍａｉｎｌｙ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｃｉｒ－ｃｕｍｆｅｒｅｎｔｉａｌ ａｎｄ ａｘｉａｌ ｆｌｏｗｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｗａｌｌ ｍａ－ｔｅｒｉａｌｓ３ｓｏ ｔｈｅ ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｓｔｒａｉｎ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｂｅｉｇｎｏｒｅｄ．Ｌｉｕ４ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆｔｕｂｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｌａｔｔｅｎｉｎｇ ｒａｔｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉ－ｐｌｅ ｏｆ ｖｉｒｔｕａｌ ｆｏｒｃｅ ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｗａｓ ｉｎ ｔｈｅｓｔａｔｅ ｏｆ ｆｒｅｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｐｕｒｅ ｂｅｎｄｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅ ｉｍｐａｃｔ ｏｆ ｍｏｌｄ ｄｕｒｉｎｇ ｔｕｂｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒｗｉｔｈ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｕｂｅｂｅｎｄｉｎｇ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｔｒａｉｎ ｆｏｒ－ｍｕｌａｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍａ－ｔｉｏｎ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｔｕｂｅｓ ｆｌａｔｔｅｎｉｎｇ．Ｔｈｅ ｉｎｆｌｕ－ｅｎｃｅ ｆａｃｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄａｎｄ ａｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｍｏｄｉｆｙ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒ－ｅｎｔ ｆｌａｔｔｅｎｉｎｇ ｒａｔｅｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｕｂｅ ｍａｔｅｒｉａｌｓ．１ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｔｒａｉｎ ｄｕｒｉｎｇｔｕｂｅ ｂｅｎｄｉｎｇ Ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｉｓ ｂｅｎｔ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｃｅｎｔｅｒ Ｏｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔ Ｍ．Ａ ａｎｄ Ｂ ａｒｅ ｔｈｅ ｍｉ－ｃｒｏ－ｂｏｄｉｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｔｅｎｓｉｌｅ ｓｉｄｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｓｉｄｅｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙＦｉｇ．１．Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔａｇｅｏｆ ｂｅｎｄｉｎｇ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｈｅ ｔｅｎｓｉｌｅ ｓｔｒａｉｎ１ｉｓ ｔｈｅｆｉｒｓｔ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｓｔｒａｉｎ ｏｆ ｔｅｎｓｉｌｅ ｓｉｄｅａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍ－ｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｔｒａｉｎ２ｉｓ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｓｔｒａｉｎ ｏｆ ｃｏｍ－ｐｒｅｓｓｉｏｎ ｓｉｄｅ．Ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｓｔｒａｉｎａｎｄｔｈｅ ｒａｄｉａｌ ｓｔｒａｉｎｔａｒｅ ｎｏｔ ｏｂｖｉｏｕｓｔｈｅ ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎ－ｓｉｏｎａｌ ｓｔｒａｉｎ ｓｔａｔｅ ｉｓ ｇｒａｄｕａｌｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎ－ｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｂｅｎｄｉｎｇ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ５．Ｄｉｓ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｄｉａｍｅｔｅｒｔ１ａｎｄ ｔ２ａｒｅ ｔｈｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓｅｓ ｏｆｏｕｔｅｒ ｗａｌｌ ａｎｄ ｉｎｎｅｒ ｗａｌｌ ａｆｔｅｒ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｆｉｇ．１ Ｓｔｒａｉｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｕｂｅ ｂｅｎｄｉｎｇ Ｔｈｅ ｒａｄｉａｌ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ｏｕｔｅｒ ｗａｌｌ ｍａｔｅｒｉａｌｓｗｉｌｌ ａｐｐｅａｒ ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｓｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ．２．Ｆｉｇ．２ Ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｌａｔｔｅｎｉｎｇ ｉｎ ｔｕｂｅ ｂｅｎｄｉｎｇ Ｉｔ ｉｓ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｕｔｅｒ ｓｅｍｉ－ｃｉｒｃｌｅ ｉｓ ａｓｔａｎｄａｒｄ ｓｅｍｉ－ｅｌｌｉｐｓｅ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｌａｔ－ｔｅｎｅｄ．Ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｔｒａｉｎ ｏｆ ａｎｙ ｐｏｉｎｔ ｉｎｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ｌａｙｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ａｓｗｈｅｒｅ ａｉｓ ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ｒａｄｉａｌ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ａｎｙｐｏｉｎｔ ｏｎ ｍｉｄｄｌｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｕｔ ｗａｌｌｒｍｉｓ ｔｈｅａｖｅｒａｇｅ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎＲｉｓ ｔｈｅｂｅｎｄｉｎｇ ｒａｄｉｕｓｔ ｉｓ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｗａｌｌ－ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆｔｈｅ ｔｕｂｅｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｌｌ－ｔｈｉｃｋｎｅｓｓｉｓｔｈｅ ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｎｇｌｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ａｎｙｐｏｉｎｔ ａｎｄ ｎｅｕｔｒａｌ ｌａｙｅｒ ｏｎ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ．Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｔｅｎｓｉｌｅ ｓｔｒｅｓｓｒｅａｃｈｅｄｍａｘｉｍｕｍ ｏｎ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｏｕｔｅｒ ｌａｙｅｒｔｈｅ ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎ－ｔｉａｌ ｓｔｒｅｓｓ１＝０３６．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｗａｌｌ－ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｉｓ ｍｕｃｈ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｒａｄｉｕｓｔｈｅｒａｄｉａｌ ｓｔｒｅｓｓｔｃａｎ ｂｅ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅｐｌａｓｔｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｔｏｔａｌ ｔｈｅｏｒｙ２－－ｔ＝ｔ２ｔ－－＝２－ｔ－．２Ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｏｆｔｈｅ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｓｔｒａｉｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｒａｄｉａｌ ｓｔｒａｉｎｔ＝＝－１２．３Ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｕｂｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｐｌａｓｔｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｖｏｌｕｍｅ＋ｔ＋＝０．４Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ ａｘｉｓ ｆｌａｔｔｅｎｉｎｇ ｒａｔｅ ｏｆ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎｒｅａｃｈｅｓ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｖａｌｕｅ ｉｎ ｔｈｅ ｅｌｂｏｗｔｈｅ ａｖｅｒ－ａｇｅ ｒａｄｉａｌ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ａｍｕｓｔ ｂｅ ｍａｘｉｍｕｍ．Ｓｏｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ Ｅｑ．１Ｅｑ．３＝２ａｎｄ ｒｍ＝Ｄ－ｔ２ｉｎｔｏ Ｅｑ．４ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａａｍａｘ＝Ｄ－ｔ２＋８ ＲＤ－ｔ．５Ｆｉｎａｌｌｙｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｃｈａｎｇｅｔ１ｏｆ ｏｕｔｅｒｗａｌｌ－ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｃｈａｎｇｅｔ２ｏｆ ｉｎ－ｎｅｒ ｗａｌｌ－ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｃａｎ ｂｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ａｓ