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    方程(6.112)可以被写成:

                   di= [ Bi ]gi                                                                 (6.115)

    [ Bi ]=[ Ai ]-1表示一个近似的海森矩阵的逆矩阵[ J0]-1。可以看出,方程(6.115)表示了n个方程的一个系统,这些方程是矩阵[ Bi ]的n2个未知元素。因此,如果n>1,[ Bi ]的选择不是唯一的,在某种意义上,可以选择最接近[ J0]-1的[ Bi ]。在许多学术性的文学书籍中,有很多技术被推广,这些技术用于计算[ Bi ]的整个迭代过程(在[ Bi ]已知的情况下,计算[ Bi+1])。一个主要的注意点是,除了满足方程(6.115),矩阵[ Bi ]的对称和正定要保持,也就是说,如果[ Bi ]保持对称正定,那么[ Bi+1]也要保持对称正定。

     

    6.15.1  秩1校正

    矩阵[ Bi ]校正的一般方程可以写成:

                 [ Bi+1]=[ Bi ]+[ ΔBi ]                                 (6.116)

    [ ΔBi ] 可以看作是校正(或修正)矩阵[ Bi ]的增量,从理论上来说,矩阵[ ΔBi ] 可以拥有像n一样的高的等级,然而,实际上,大多数[ ΔBi ]只有1或者2个等级。为了派生出秩1校正,我们只是选择一个向量Z和一个固定的参数比来求[ ΔBi ],如:

                [ ΔBi ]=cZZT                                                             (6.117)

    常数c和向量Z都待定。方程(6.116)和 (6.117)合解得:

                [ Bi+1]=[ Bi ]+cZZT                                                      (6.118)

    为了使方程(6.118)满足拟牛顿法的条件,方程(6.115)为:

                di= [ Bi +1]gi                                                              (6.119)

    可以得到:

                di=([ Bi ]+cZZT)gi =[ Bi ]gi +cZ(ZT gi )                   (6.120)

    由于方程(6.120)中的(ZT gi )是一个标量,那么方程(6.120)可以写成:

                 cZ=                              (6.121)

    因此,向量Z和常数c的一个简单选择是:

                Z=di-[ Bi ]gi                                                            (6.122)  

                c=                                                                  (6.123)

    由此可以得到独特的求[ Bi+1]的秩1的校正公式:

            [ Bi+1]=[ Bi ]+[ ΔBi ] 

                 =                               (6.124)

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