方程(6.112)可以被写成:
di= [ Bi ]gi (6.115)
[ Bi ]=[ Ai ]-1表示一个近似的海森矩阵的逆矩阵[ J0]-1。可以看出,方程(6.115)表示了n个方程的一个系统,这些方程是矩阵[ Bi ]的n2个未知元素。因此,如果n>1,[ Bi ]的选择不是唯一的,在某种意义上,可以选择最接近[ J0]-1的[ Bi ]。在许多学术性的文学书籍中,有很多技术被推广,这些技术用于计算[ Bi ]的整个迭代过程(在[ Bi ]已知的情况下,计算[ Bi+1])。一个主要的注意点是,除了满足方程(6.115),矩阵[ Bi ]的对称和正定要保持,也就是说,如果[ Bi ]保持对称正定,那么[ Bi+1]也要保持对称正定。
6.15.1 秩1校正
矩阵[ Bi ]校正的一般方程可以写成:
[ Bi+1]=[ Bi ]+[ ΔBi ] (6.116)
[ ΔBi ] 可以看作是校正(或修正)矩阵[ Bi ]的增量,从理论上来说,矩阵[ ΔBi ] 可以拥有像n一样的高的等级,然而,实际上,大多数[ ΔBi ]只有1或者2个等级。为了派生出秩1校正,我们只是选择一个向量Z和一个固定的参数比来求[ ΔBi ],如:
[ ΔBi ]=cZZT (6.117)
常数c和向量Z都待定。方程(6.116)和 (6.117)合解得:
[ Bi+1]=[ Bi ]+cZZT (6.118)
为了使方程(6.118)满足拟牛顿法的条件,方程(6.115)为:
di= [ Bi +1]gi (6.119)
可以得到:
di=([ Bi ]+cZZT)gi =[ Bi ]gi +cZ(ZT gi ) (6.120)
由于方程(6.120)中的(ZT gi )是一个标量,那么方程(6.120)可以写成:
cZ= (6.121)
因此,向量Z和常数c的一个简单选择是:
Z=di-[ Bi ]gi (6.122)
c= (6.123)
由此可以得到独特的求[ Bi+1]的秩1的校正公式:
[ Bi+1]=[ Bi ]+[ ΔBi ]
= (6.124)