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4 结论 24
致谢 25
参考文献 26
1 引言
1.1 研究背景
传染病是严重危害人类健康的一类疾病。第一次世界大战期间，肆虐欧洲的一
场流感大流行曾导致2000万人死亡，这也是促使“一战”结束的原因之一。纵观
历史，对人类危害最严重的传染病有:天花，黑死病(学名鼠疫)，艾滋病(AIDS),
登革热与西尼罗热，非典((SARS)，霍乱，埃博拉病毒，血吸虫病，禽流感，脊髓灰
质炎等。在人类与传染病的抗争中，许多传染病已经消亡，比如上面提到的天花和
SARS，世界卫生组织于 1980年正式宣布天花已在全世界消灭。2003年在全球引起
最大影响的莫过于新发现的严重急性呼吸综合征(SARS)，2002年11月16日，在
中国广东河源出现了第1位非典病人，随后，这种新型肺炎又在我国香港、台湾地
区及美国等地被发现。中国政府在对抗SARS的斗争中，采取了一系列强有力的预
防措施，仅仅在两个多月的时间就使得SARS在全国范围消除。历史和现实告诉我
们:传染病是威胁人类健康的“第一杀手”，人类要征服传染病就必须了解它的传播
机理和传染规律，才能提出正确的防治策略。
由此可见，对该课题的研究有很重要的科学意义和广阔的应用背景。
1.2 研究现状
1.3 本文的主要工作
本文共分为四章，具体内容安排如下：
第一章为引言。该章主要介绍了该课题的研究背景和意义，简单描述了课题的研究内容，并介绍了本文的内容结构。
第二章为基本模型和预备知识。该章给出了几种经典的传染病模型，并在此基础上，讲述了研究此类问题的一些预备知识。
第三章在基本模型的基础上考虑了具有阶段结构的一类SIS模型，进行分析求解，并分析平衡点的稳定性，最后进行数值模拟；进而增加种群动力学因素，讨论了具有Logistic增长的SIS传染病模型，进行分析求解，也分析平衡点的稳定性，最后进行数值模拟。。
第四章为结论。
2 基本模型和预备知识
2.1 基本模型
早在1927年，Kermack和Mckendrick就运用动力学方法建立了传染病的数学模型，其中包括两个经典的SIR和SIS传染病模型，为传染病动力学的研究奠定了基础。他们把当时的人群分为三类：
易感者(Susceptible)S类，指t时刻尚未感染但有可能感染成为感染者，数量记为s(t)；
染病者((Infective)I类，指t时刻已被传染成为病人者，数量记为I(t)；
移出者(Removed)R类，包括t时刻已经恢复并具有免疫力者，以及因病死亡者，数量记为R(t)；
并作了三个基本假设，即KM假设:
假设l:所有研究地区的人口数量是常数，不因时间变化而变化；
假设2:易感者由于受传染病的影响，其人数随时间而变化的变化率与当时易感者的人数和当时染病者的人数成正比；
假设3:设从染病者类转到移出者类的速度与当时染病者类的人数成正比.
得到模型：（1）
其中 为传染率， 为移除率。
SIR模型主要用来研究一些较严重的传染病，得病则极少能治愈，如狂犬病和艾滋病等，也用于研究得病治愈后具有免疫力的传染病，如水痘，麻疹等。而对于一些由病菌引起的传染病（如淋病，疟疾等）治愈后还可能重新受感染的，用SIS模型来描述其传染过程。