2 零文两相内弹道模型的建立及相关参数计算
2.1 压强-时间微分方程的建立
式(11)给出了 的表达式,但式中有些参数的求解方法并未给出,下面将给出相关参数的表达式。式(11)中出现了发动机的质量流率 ,并且在纯气相流动条件下的质量流率表达式已由文献[2]给出,但由于凝聚相颗粒的加入,文献[2]给出的计算公式显然是不合适的。在计算质量流率时,我们需要考虑凝聚相颗粒的影响。查阅文献[3],我们可以得到在两相流动条件下,质量流率的表达式
(13)
根据建模是所作出的假设,有p= 。将式(13)代入式(11)可得
(14)
另外,根据建立两相内弹道模型时做出的假设,燃烧室中的温度是保持不变的,即有T=T0,再将理想气体的热状态方程和指数燃速公式代入可得
(15)
将上式整理可得
(16)
又 ,将其代入上式,整理有
(17)
又燃气的填充量一般来讲相对较少,若不予以考虑,则有
(18)
式(16)(17)(18)为内弹道微分方程的三种不同形式,均可用来编程计算内弹道。本文采用式(17)来进行编程计算。在式中除了两相流的流动系数 是与燃烧室压强有关的变量外,在定常流动的假设下,其余参数均为常量。参考文献[5],对于式(17)的微分方程形式,我们采用四阶龙格-库塔法来进行求解
2.2 四阶龙格-库塔法介绍
式(17)所示的内弹道微分方程是常系数一阶微分方程。对于该类微分方程的求解常采用文献[5]所介绍的四阶龙格库塔法来进行计算。并且观察该种方法的求解形式,知道龙格-库塔法的求解适合采用编程来计算。四阶龙格-库塔法与四阶的泰勒级数等价,因此计算精度较高,可以工程上的使用要求。可用四阶龙格-库塔法求解的微分方程一般来说可以写成如下的形式[5]
对于任意时刻tn,此时的压强值为pn,可以通过四阶龙格库塔法来计算下一时刻tn+1时的压强值pn+1,相关的算式如下
(19)
下一时刻tn+1的压强pn+!的值可以用下式计算
(20)
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