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(2) 方法2: 由于 在各子区间内部连续, 故可由 计算半节点 ( )处含水率 . 然后构造
(2.13)
其中对应于半节点的基函数
由(2.13)可直接求得内部节点 ( )处的含水率导数值
由一次有限元拟合函数的特点(各单元内为直线段), 上式可化为
因此, 此方法等同于在内部节点 ( )处的中心差分.
另外, 边界节点处的含水率导数值仍需按照方法1求得.
2.1.4含水率的修正
有限元方法的直接计算结果为各节点处的函数值. 对于实际问题, 煤炭含水率低于某临界值(设为 )时, 不再对外发生对流和扩散. 因此, 在计算过程中, 需对上述模型进行修正.
设计算得到的 层含水率 均不小于 , 但
(4)
需修正 . 进行如下步骤:
(1) 设 为 的最小元素, 则修改 和 如下:
即: 将 恢复到 , 且保持 不变;
(2) 用修正后的 按式(4)求
(3) 若 不为空集, 则回到步骤(1), 否则修正结束.
2.2配煤槽中煤的增减模型
以上为煤的渗透模型, 记为 ( 为执行该模型的时间), 其中使用的空间变量 表示深度, 而给出的数据为料位(容积%).
鉴于配煤槽的上部为柱体, 下部为锥体, 体积分布不均匀, 因此建立配煤槽中煤的增减模型, 记为 , 主要包含切煤过程和加煤过程. 采用关于高度 的坐标系. 设配煤槽中煤的总深度为 , 则有 . 首先给出料位 与高度 的关系.
设配煤槽总高度为 , 总容积为 , 下部圆锥高度为 , 上部圆柱半径 . 于是
高度为 时, 煤的体积为
可得函数 和 :
2.2.1切煤过程
假设切煤前的料位为 , 切出量(容积)为 . 进行如下步骤:
(1) 原体积 , 原高度(即原深度)
(2) 切出料位 , 切出高度
(3) 删除 的数据, 仅保留 的数据
(4) 重新按体积和高度分配含水率, 即: 假设原来 (即 )的煤分布到 , 其中, 由计算可得 .
2.2.2加煤过程
假设加煤前的料位(若在切出过程中加煤, 则为切出完成后的料位)为 , 加入量(料位)为 . 进行如下步骤:
(1) 原高度(即原深度)
(2) 加煤之后料位 , 高度
在原有数据的前端加入 的数据
整个程序主要包含渗透模型和煤的增减模型, 流程见附录.
3 模拟仿真
3.1有限差分方法(FDM)和有限元方法(FEM)的比较
本节利用前述模型进行模拟仿真, 主要比较渗透模型的有限差分方法(FDM)和有限元方法(FEM)的计算效果. 以实验室模型为例, 煤高20dm, 选取煤粒平均直径为2.575mm, 初始均匀含水率为10%, 速度公式(2.1)和(2.2)中的参数为
其中 为煤粒平均尺寸比例. 此时渗透开始临界时间为29min.
首先, 为了验证FEM的可行性, 取均匀节点进行计算. 取 dm(即 ), min, 用FDM和FEM分别计算, 渗透71min的结果如图3.1. 从图上可以发现, 两种方法的计算结果没有明显差别. 经比较, 末节点处的含水率均为10.1851%. 说明FEM可以和FDM一样得到模拟结果.
图3.1 FDM和FEM取相同的均匀节点, 渗透71min的结果.
从图中可以发现, 边界附近的梯度较大, 这也是渗透过程的必然结果. 因此, 为了得到更精确的计算结果, 利用FEM在区间划分上的优势(可应用于非均匀划分), 选取Chebyshev-Gauss-Labatto(CGL)点. CGL点具有边界紧密中间稀疏的特点, 能够减少边界附近的误差. 仍取 , min, 渗透71min, 结果如图3.2中图. 从图中可以发现用CGL点的FEM(记为FEM-CGL)的结果与用均匀节点的FEM不同; 前者在末节点处的含水率为10.1964%.