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微分方程指的是自变量和未知函数的导数,具有这样的等式关系的方程.得出一个函数使得符合这个方程,那么就叫做微分方程的解.而在初等数学的代数方程,其解是常数值.
微分方程在很多领域有着非常广的应用,它可以解决许多核微分方程有关的问题,很多可以用微分方程求解.除此以外,微分方程在数学、统计学、经济学、工程学等领域应用都有非常广泛.
在微分方程定义方面,常微分方程（ ）定义指的是方程中只有一个自变量.偏微分方程指的是有两个或者多于两个的自变量的微分方程.如果未知函数 以及 都具有一次的任意阶导数 ,则这样的微分方程是线性的,否则就是非线性的微分方程.初值问题是指所给出的原来的条件和方程中所给的一个值,其中带有初值问题的 阶常微分方程形式为
.偏微分方程的一般形式为 .
1.2 简介
的应用给我们解决了我们以往不能快速解决的问题,使我们解决某些问题更加方便和节省时间,提高了整个运算的效率.在科学研究和其它的应用中,为了增加数学运算的效率,尤其是当我们遇到编程等难题时,在1967年,美国的 软件开发公司通过思考编写了 程序,并且经过不断的更新,在1992年,该公司推出了 版本,这具有划时代的意义.到2007年为止先后推出了 、 和 版本,使之应用的范围越来越广泛.而且用 进行运算就像人类的大脑一样好用与人进行科学计算的思路和表达方式一样,使用 进行数学运算就像在草稿纸上演算数学题一样方便.
因此, 使微分方程的数值计算变得容易,且避免了大量冗杂的数学计算.
1.3微分方程数值解法概述
平常所说的微分方程的数值解,也就是微分方程在一些近似点处的解.一般而言,数值求解具体分成以下几个部分
剖分 数值解求的是方程的近似解,首先我们需要先把这个给定的区域划分成许多个小段,这样方便求得每个小段上的相近的解.然后对所求的区域按一定的规律进行划分,这样的一个过程就称为剖分.
离散 在区域剖分以后,再由原先的微分方程找出关于这些分散的点处的函数值的相近值的推导公式或与之相关的方程组,这个过程就称方程的离散.
数值解的适定性 在方程离散以后,我们必须分析离散问题解的存在性和唯一性,由于在计算过程中存在舍入误差,还需分析当离散问题产生扰动时,数值解是否严重背离离散问题的固有解,即数值方法的稳定性.
收敛性 此外,还需要分析离散问题的解是不是与原来的连续性问题近似,也即收敛性分析和误差估计.
上机运行 最后,针对这个问题进行上机运行得出结果.
2.有限差分法
2.1有限差分法介绍
2.1.1有限差分法的思想
用差分来取代微分,是有限差分法的基本的出发点,是微分方程数值解的一种方法.
在数学中,有限差分法是一种数值方法,它通过有限多个微分方程进行类似的求导,从而寻求微分方程的相近解.
有限差分法的基本思想首先是把方程给定区域分成许多的分散点,用这些分散点所组成的小格格取代,我们把这些分散点称为小格格的节点;其次是把给定区域上的函数,用小格格所定义的变量离散函数来相近的取代；然后把原来的微分方程和在知道解前提下,微商用差商来近似代替.最后,在给定的解的前提下原来的微分方程就由代数方程组来相近的取代了,这就可以得到在原问题上的分散点处的相近的解.
2.1.2差分法的相容性、收敛性、稳定性
(1)相容性
相容性指的是替代误差,它是指由微商被差商所取代引起的误差,或又称局部的截断误差.
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