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摘要 Beta函数和Gamma函数是数学分析里两个非常重要的积分，文章重点介绍了Beta函数的性质及其证明，以及Beta函数和Gamma函数之间的联系，灵活运用这些可以解决数学运算中的一些问题，本文中通过举一些实例来说明了它们的应用.34337
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毕业论文关键词 Beta函数；性质；应用
引言
欧拉是18世纪最杰出的数学家之一，他不但为数学界作出了伟大的贡献，更是把数学推至了几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此的广泛，因此在许多数学的分支中可以经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(Euler)积分是他重要的贡献之一，它是由含参变量广义积分表示的两个特殊函数，在数理方程以及概率论与数理统计等学科中经常用到，本文重点阐述Beta函数的性质，揭示Beta函数和Gamma函数所具有的关系及其在数学分析中的应用，从而使复杂的题目有了更为简单易懂的解决方法，在提高解题能力的同时，也加深了对数学的理解和应用.
1.Beta函数的定义
称为贝塔（Beta）函数，（或写作 函数）.
2.Beta函数的收敛域
定义：设 为函数 的瑕点，若 ，则
当 时，瑕积分 收敛；
当 时，瑕积分 发散.
在积分 中有两个参数 和 ,当 时， 为瑕点；当 时， 为瑕点，所以要把它分成两个积分来讨论，即
当 时， ，故 收敛；
当 时， ，故 发散.
同理可证：
当 时， 收敛；
当 时， 发散.
所以， 收敛域为： .
3.Beta函数的性质及证明
3.1 Beta函数的连续性
在 连续.
对任意的 ， 在 连续.
对任意的 与 ， 在 一致收敛.
魏尔斯特拉斯M判别法:
设有函数 ，使得
若 收敛，则 在 上一致收敛．
贝塔函数在其定义域内连续.
证：对任何 ， ,有
，
而 收敛，所以由魏尔斯特拉斯M判别法知， 在 上一致收敛，故而 在 内连续．由 的任意性，可得 在 连续.
3.2 Beta函数的可微性
证： 在 内可微且存在任意阶连续偏导数．
考虑积分 .
当 ， 时，恒有
，（ ）
而 收敛，故积分 在 ， 时一致收敛．因此当 ， 时可在积分下求导，得
并且 是 ， 上的连续函数．
同理, 是域 上的二元函数，且当 时可在积分下求导，得
完全类似地用数学归纳法可证 在域 上存在连续偏导数，且 .
3.3 Beta函数的对称性
3.4 Beta函数的递推公式
3.5 若 为正整数，则有
证：当 均为偶数时,显然由Beta函数的对称性和递推公式推得