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极限思想的完善与微积分是严格化密切联系的. 18世纪，罗宾斯、达朗贝尔和罗依里埃等人先后明确地指出必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义.19世纪，法国数学家柯西在前人所研究的基础上指出，“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值. 但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，所以留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度. 为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础. 所谓 ，就是指，“如果对任何 ，总存在自然数 ，使得当 时，不等式 恒成立”. 这个定义，借助不等式，通过 和 之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系. 因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础. 在该定义中，涉及的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观.
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用. 用极限的思想方法可得出连续函数、导数、定积分、广义积分的敛散性、级数的敛散性、多元函数的偏导数、重积分和曲线积分与曲面积分的概念等[1].
本文接下来概括了几种求极限常用的方法.
1、极限的求解
1.1 用 分析语言证明极限
利用极限的分析语言证明有关极限，可以分为以下两种情况.
（1）用分析语言直接证明某个极限.
（2）已知某个极限存在，利用 分析语言证明另一个极限存在. 根据 分析语言的定义，由已知的 ，便有：对任意给定的 ，根据一般性包含了特殊性的哲学原理知，当然对某个给定的 ，总存在 ，当 时，恒有 ，这里 是已经给定的正数. 然后利用这个 和有关不等式去分析证明待证的有关极限的命题，此时我们要找的 不仅与 有关，而且还与这个已经找到的 有关.