利用几何思想证明不等式(2)

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3.4构造数列模型 13

3.5构造代数模型 13

3.6构造几何模型 13

4、总结与发展 16

参考文献 17

致谢 18

1、绪论

1.1不等式的发展历史

数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件，分别是: Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy，Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明[1]。A. M.Fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式。 Hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy，J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论[1]。

历史上，中国数学家在不等式方面有着突出的成绩，包括华罗庚、樊畿、林东坡、徐利治、王忠烈、王兴华等数学家。近几年我国许多数学工作者在国际数学不等式理论及其应用的领域上很活跃, 他们在相关方面做出了独特的贡献，引起国内外同行的注意和重视，杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮，在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮[2]。20 世纪70年代以来，国际上每四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议，并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The Third World Congress of Nonlinear Analysts”)的主题之一。

1.2不等式研究的意义

不等式在数学的整个学习及研究过程中是非常重要的，它涉及了初等数学和高等数学诸多方面，在数学中有着不可替代的作用。在数量关系上，不等关系与相等关系相比，不等式更加广泛的存在于现实的世界中并且运用十分广泛。直到17世纪之后，不等式的理论成为数学理论的重要组成部分。经过高斯、柯西、切贝雪夫等对不等式相关问题的研究，让一些不等式方面的理论得到快速发展，并且取得很多重要成果。不等式不仅有重要的理论意义，在实践方面运用于工程技术领域对它的生产有很大的作用。证明不等式的方法不仅需要丰富的逻辑推理、更要讲究不等式的变形和恒等技巧方面的问题。为什么不等式证明的问题老师普遍觉得难讲、学生难懂。主要原因是因为我们不会选择合适的方法来解题，因此，我想有必要对不等式的证明方法进行总结归纳。

2、不等式及其证明

2.1不等式在中学数学中的地位

通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来。而不等式的证明是高中数学的一个难点，其题型广泛、方法灵活、涉及面广，是历届高考中的热点问题。不等式的证明方法通常涉及到数学的各个分支领域，其理论性和技巧性一般比较强，因此不等式的证明已成为各类数学竞赛的热门题型[3]。在不等式的证明中，认真观察和分析不等式及条件，通过构造、联想和猜想，与相关知识结构融合，对不等式进行合理的几何含义表征，从而找到以形助数的方法来加以证明[3]。