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摘要利用压缩映射定理,通过构造闭域套上的压缩映射,证明此压缩映射在这列闭域上存在惟一的一个不动点,但是这仅是证明闭域列上公共点的存在性,还需再通过证明闭域列上公共点的唯一性.通过这样的方法,给出证明闭域套定理的另一种方法,除此之外还可以体现出不动点定理的应用是十分广泛的.66694
毕业论文关键词：压缩映射 闭域套定理 不动点
Prove the Closed Domain Theorem by Using the
Contraction Mapping Theorem
Abstract
In this paper, we use contraction mapping theorem to prove the existence of a unique fixed point in this closed domain sheath by constructing a contraction mapping in the closed domain sheath. However, it has merely proved the existence of common point in the closed domain sheath. We still need to prove the uniqueness of this point in the area. It shall be given to prove closed domain theorem by another approach. In addition, it demonstrates that fixed point theorem is applied widely.
Key Words: Contraction mapping closed domain theorem fixed point
目 录
摘要Ⅰ
Abstract-Ⅱ
目录Ⅲ
1 引言-1
2 预备知识-1
3 主要结论-2
参考文献11
致谢12
1 引言
由于闭域套定理涉及到点的存在唯一性，由此自然可以联想到利用压缩映射定理证明闭域套定理.通过查阅相关文献知道,一维的情形已经得到验证，即可以通过构造一个一元压缩映射来证明区间套定理.本文主要受到[1]中结论的启发，希望将所得的结果拓展到二维实平面上或者更一般的Banach空间上，即通过构造一个 上的闭域的压缩映射和一般Banach空间上的压缩映射，发现在 中闭域套定理或者在一般Banach空间上的闭域套定理均可以通过不动点定理来证明.论文网
在查阅了相关文章之后,可以发现二维平面上用压缩映射定理证明闭矩形套定理已经在[2]中给出，但是[2]中只证明了 上的闭矩形套定理，并没有证明 上的闭矩形套定理和一般的有界闭域套定理,证明中也存在着一些问题,因此本文将在给出一般情形的证明的同时对[2]中已有的证明进行适当的修正.
实际上,经过验证,只需要找到一般Banach空间上闭球套的公共点,即可证明一般Banach空间上闭域套中的公共点是存在的,因为可以通过有界闭域的有界性知道一定存在一个闭球,使得有界闭域可以包含在其中,即可得到相应的结果.
2 预备知识
定义1[3](压缩映射) 设 是度量空间， 是 到 中的映射，如果存在一个数 ， ，使得对所有的 ,
,
则称 是压缩映射.文献综述
定义2[3](不动点) 设 为一集合, 为一映射,如果 ,使得
,
则称 为映射 的一个不动点.
引理1[3](压缩映射定理) 设 是完备的度量空间, 是 上的压缩映射,那么 有且只有一个不动点(就是说,方程 ,有且只有一个解).
引理2[4](闭域套定理) 设 是 中的闭域列,它满足:
(ⅰ) , ;
(ⅱ) , ,
则存在惟一的点 , .
引理3[6] 若开区间列 满足:
(1) ,有 ;
(2) .
则
(1) ;
(2) .
引理4[3] 完备度量空间 的子空间 是完备空间的充要条件为 是 中的闭子空间.
3主要结论
定义 上任意两点 , 的距离为 .
(1) 当闭域列为闭长方形列时,即 ，满足闭域套条件.取其中完全不重合的闭矩形构成一个新的闭域套,不妨就令
.
事实上,由引理3可知,开区间套 在 的条件下存在惟一的点 ,使得 ,显然 ,这样只需证明惟一性即可.若存在 ,则由 和 知, ,故惟一性得证.