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1.4 平衡点与稳定性的定义
对于不同系统，初始值的微小变化会产生不同的影响。例如以下初始值问题
的通解为 。 是（1）的其中一个解，我们称之为零解。当 时，只要 ，无论 多小，当 时，总有 ，也就是说初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当 时， 与零解的误差小于等于初始误差 的值，且误差随着 的增加很快就会消失，因此我们得到当 很小时， 与零解的误差也会很小。以上例子表明当 时，方程（1）的零解是“不稳定的”，而当 时（1）的零解是“稳定的”。下面我们就可以得到微分方程零解稳定的严格定义。
设微分方程 （2）
满足解的存在唯一性定理的条件，此方程的解 的存在区间是 ， 还满足条件 （3）
条件（3）保证了 是微分方程（2）的解，我们称之为方程的零解。
定义1 若对于任意给定的 ，都可以找到 ，使得当 时，方程（2）的解 满足