- 上一篇：概率统计思想与方法在实际问题中的应用
- 下一篇：对合矩阵与对合变换的探讨
（2.1）
证明 （1）若 、 有一个为零，假设 ，则 就是 、 的最大公因式，并且有 ， ,使 .
（2）若 、 全不为零，不妨设 .按带余除法，用 除 ，得到商 ，余式 ；如果 ，就再用 除 ，得到商 ，余式 ；又如果 ，就用 除 ，得到商 ,余式 ；照此下去，最后得到的余式的次数越来越低，即
.
在经过多次运算后，必然会得到一个余式是零.
于是得到一串等式 与 的最大公因式是 .
依据前面的说明， 也就是 与 的一个最大公因式；同样的道理，逐步推上去， 就是 与 的一个最大公因式.
由上面的倒数第二个等式，我们有
.
再由倒数第三式 ，代入上式可消去 ，得到 .
因此，可依次消去 ， ， ，然后整理，可得到 .
即是性质2.1中的（2.1）式.
性质2.2 、 是 中的个多项式，设 、 的标准分解式分别为： ； ，
其中：（1） 、 是 、 的首项系数，
（2） ， ， 不可约且互不相等，
（3） ， ， 首项系数均为1，
（4） ， ， ； ， ， 是非负整数，
则
这里 ， .
性质2.3 任意 ， 为任一非零常数，则有 .
证明 （1）若 有一个为零，比如 ，则结论显然成立.
（2）若 ，则令 ，则 ， .
从而 ，即 是 与 的一个公因式.
又令 ， ，根据整除性质 ，故 ，
所以 是 与 的首项系数为 的最大公因式.
即 .
(3)对一般情况，设 ，
，
不妨设 ，则 ，
记 ，令 ，则 .
故 ,
记 ，且 ,
故 ，
依次，得到的差式的次数将越来越低，即
.
因此，在有限次之后，必然有一差式为零，即
，
则 乘以首项系数的倒数之后即为 .
性质2.4 任意 ，则 和 的最大公因式有如下性质：
性质2.5 、 ，则对 施行一次关于 的初等行变换 .
性质2.6 设 ，且 、 非零， ，对 施行初等行变换，可将 化为 ，其中 即为 、 的最大公因式，可表示为