摘要:矩阵的最小多项式在矩阵相似、矩阵函数、若尔当标准型和矩阵方阵中都有重要的应用,研究最小多项式的性质和应用就现在尤为重要了。在《高等代数》教材中,对矩阵最小多项式的性质讨论较少,更不涉及它的应用,本文归纳了最小多项式的若干结论,主要包括最小多项式的性质以及最小多项式的一些应用。52100
毕业论文关键词:最小多项式,矩阵,最小多项式的应用,
Abstract:The minimal polynomial of matrix in the similarity matrix, matrix function, Jordan Standard form and a square matrix has important applications, properties and application of minimal polynomial is now particularly important. In the "Higher Algebra" teaching materials, properties of the minimal polynomial of a matrix is little discussed, nor to its application, this paper summarizes some conclusions minimal polynomials, including the properties of minimal polynomial and some applications of the minimal polynomial.
Keywords:Minimal polynomial,Matrix ,The application of minimal polynomial
目 录
1 最小多项式的性质4
2 最小多项式的应用5
2.1 已知方阵 和多项式 ,求 6
2.2 对于方阵 如何确定 可逆以及求 的逆7
2.3 判断方阵能否与对角阵相似9
2.4 求方阵 的全体多项式所生成的线性空间 的维数和一组基10
2.5最小多项式与特征多项式10
结论 11
参考文献12
1 最小多项式的性质
我们知道,矩阵的最小多项式在高等代数课本中讲解较少,但此内容是重要的.本文就此对矩阵的最小多项式的性质及其应用最进一步的谈论,仅供参考.
下面简述一下最小多项式的一些性质.
性质1 复数域 中任何矩阵 的最小多项式是唯一的.
证明 设 和 都是 的最小多项式,很据带余除法, 可表
其中 或 ,于是因此 源^自·751·文.论,文'网]www.751com.cn .
由最小多项式的定义, ,即 .同样可证 .因此 与 只能相差一个非零常数因子.又因 与 的首项系数都为 ,所以 .
性质2 复数域 中的任何 阶矩阵都有最小多项式.
性质3 级若尔当块 的最小多项式 .
证明 的特征多项式为 ,而 ,并且我们知道 ,所以 的最小多项式为 .
性质4 相似矩阵有相同的最小多项式;矩阵与其转置有相同的最小多项式.
证明 设方阵 的最小多项式是 ,方阵 的最小多项式是 ,由 和 相似知,有
其中 为可逆矩阵.则 由性质7知 整除 ,同理可证 整除 ,所以 .得证.
性质5 任取复数域 中的 阶可逆矩阵 ,设其最小多项式为 ,则 的最小多项式是 .
性质6 设 是一个准对角阵, ,
的最小多项式等于 的最小多项式的最小公倍式, .
证明 设 的最小多项式为 , 的最小多项式为 , 的最小公倍式是 ,由 整除 知 , .故 ,因此 整除 .