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    摘要:矩阵的最小多项式在矩阵相似、矩阵函数、若尔当标准型和矩阵方阵中都有重要的应用,研究最小多项式的性质和应用就现在尤为重要了。在《高等代数》教材中,对矩阵最小多项式的性质讨论较少,更不涉及它的应用,本文归纳了最小多项式的若干结论,主要包括最小多项式的性质以及最小多项式的一些应用。52100

    毕业论文关键词:最小多项式,矩阵,最小多项式的应用,

    Abstract:The minimal polynomial of matrix in the similarity matrix, matrix function, Jordan Standard form and a square matrix has important applications, properties and application of minimal polynomial is now particularly important. In the "Higher Algebra" teaching materials, properties of the minimal polynomial of a matrix is little discussed, nor to its application, this paper summarizes some conclusions minimal polynomials, including the properties of minimal polynomial and some applications of the minimal polynomial.

    Keywords:Minimal polynomial,Matrix ,The application of minimal polynomial

    目   录

    1   最小多项式的性质4

    2   最小多项式的应用5

      2.1 已知方阵 和多项式 ,求 6

      2.2 对于方阵 如何确定 可逆以及求 的逆7

      2.3 判断方阵能否与对角阵相似9

      2.4 求方阵 的全体多项式所生成的线性空间 的维数和一组基10

    2.5最小多项式与特征多项式10

    结论 11

    参考文献12

    1  最小多项式的性质

        我们知道,矩阵的最小多项式在高等代数课本中讲解较少,但此内容是重要的.本文就此对矩阵的最小多项式的性质及其应用最进一步的谈论,仅供参考.

    下面简述一下最小多项式的一些性质.

        性质1  复数域 中任何矩阵 的最小多项式是唯一的.

        证明 设 和 都是 的最小多项式,很据带余除法, 可表

    其中 或 ,于是因此      源^自·751·文.论,文'网]www.751com.cn                 .

        由最小多项式的定义, ,即 .同样可证 .因此 与 只能相差一个非零常数因子.又因 与 的首项系数都为 ,所以 .

    性质2  复数域 中的任何 阶矩阵都有最小多项式.

    性质3   级若尔当块 的最小多项式 .

    证明   的特征多项式为 ,而 ,并且我们知道 ,所以 的最小多项式为 .

    性质4  相似矩阵有相同的最小多项式;矩阵与其转置有相同的最小多项式.

    证明  设方阵 的最小多项式是 ,方阵 的最小多项式是 ,由 和 相似知,有

    其中 为可逆矩阵.则 由性质7知 整除 ,同理可证 整除 ,所以 .得证.

        性质5 任取复数域 中的 阶可逆矩阵 ,设其最小多项式为 ,则 的最小多项式是 .

        性质6  设 是一个准对角阵,                     ,

     的最小多项式等于 的最小多项式的最小公倍式, .

    证明  设 的最小多项式为 , 的最小多项式为 , 的最小公倍式是 ,由 整除 知 , .故 ,因此 整除 .

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