Lucas数标准分解式中的素因子指数问题研究

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摘要-Ⅰ

Abstract--Ⅱ

目录-Ⅲ

表清单-Ⅳ

1 绪论--1

2 预备知识--1

3 主要结论及证明--4

3.1 Lucas 数的标准分解式中素因子 11的指数4

3.2 Lucas 数的标准分解式中素因子 13、17的指数--5

3.3 Lucas 数的标准分解式中素因子 19的指数--6

4 结论-- - 7

参考文献--8

致谢9
1 绪论 Fibonacci序列，亦称黄金分割序列，又因是以兔子繁殖为例而引入的，故亦称兔子序列.其由以下递推关系及初始条件确定： 2101,0, 1.n n n F F FFF    其中0 n ，n F叫做Fibonacci数.Fibonacci 序列从发现至今已有八百余年的历史，但如今国内外许多学者仍然热衷于研究它的组合及数论等方面的性质(详见文献[1-6])，美国数学会曾专门创办了 Fibonacci 季刊（SCI 期刊），以鼓励广大Fibonacci 序列的爱好者进一步研究该序列的有关性质.Fibonacci 序列的应用十分广泛，尤其被广泛应用于编码理论以及密码学领域，同时它在现代物理、化学、准晶体结构等领域也都有应用. 如果将 Fibonacci 序列的初始条件改为0 2 L ，1 1 L ，递推关系不变，这种新数列叫做 Lucas 序列，n L叫做 Lucas 数.显然Lucas 序列是一类广义 Fibonacci 序列. 有关整数的标准分解式的研究一直是数论中的热门话题.众所周知，任何一个大于 1的整数a可以分解成有限多个素因子的乘积，即 12...sa p p p , 其中12 , ,...,sp p p都是素数.在a的分解式中，将同一个素因子合并写成方幂，并且将素因子按大小排列，可得 1212 ...r l l lra p p p ，12 rp p p      ，0 il ，1, , ir    ，且表示法唯一，该式称为整数a的标准分解式. 近年来，国内外大量学者对Lucas序列的组合及数论的性质进行了研究，其中一类就是关于Lucas数的标准分解式中素因子的指数问题，文献[7-10]分别考察了素因子2、3、5、7的情形，并证明了Lucas序列的一些整除性质.本人在前人的基础上，进一步给出了Lucas数的标准分解式中素因子11、13、17、19的指数刻画. 2 预备知识引理 1（Binet 公式）[1] Fibonacci序列的通项公式为 1()5nnn F  ，其中152 ，152；（2-1） Lucas 序列的通项公式为()nnn L  ，其中152 ，152. （2-2）证明以Lucas 序列为例，其特征方程为 21 xx ，（2-3）解得1152x，2152x.可设 1 1 2 2nnn L C x C x  12 (, CC 为常数）. （2-4）又已知0 2 L ，1 1 L ，代入上式可得方程组 12122,1 5 1 51.22CCCC    （2-5）解得1 1 C ，2 1 C .故可证得 Lucas 序列的通项公式为 ()nnn L  ，其中152 ，152. (2-6) 注以上公式首先由数学家 Binet给出，因此也称为Binet 公式. 引理 2[1] 11 n m n m n m L F L F L    . （2-7）证明根据引理1有 1 1 1 1111 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 111= ( )( ) ( )( )5511( ) ( )551(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) .5n n m m n n m mn m n mn m n m n m m n n m n m n m m nn m n m n m m nF L F L                                                                    （2-8）又因为1  ，所以10  ，故可得 1 2 1 2111= (1 ) (1 )5n m n mn m n m F L F L              . （2-9）把152 ，152代入上式可得 1 2 1 211111 1 5 1 5 1 5 1 5112 2 2 2 51 5 1 5 1 5 5 1 1 5 1 52 2 2 2 2 2n m n mn m n mn m n m n m n mn m n mnmF L F LL                                                                                                                   . （2-10）结论得证. 引理 3 222 2( 1) 2( 1) (mod )nnn n n L L L      ，33 3( 1) (mod )nn n n L L L   ， 24 2(mod ) nn LL ，35 5 (mod ) n n n L L L ，26 2( 1) (mod )nnn LL   ， 37 7( 1) (mod )nn n n L L L   ，28 2(mod ) nn LL ，39 9 (mod ) n n n L L L ，311 11( 1) (mod )nnn LL   ，313 13 (mod ) n n n L L L ，315 15( 1) (mod )nn n n L L L    317 17 (mod ) n n n L L L ，319 19( 1) (mod )nn n n L L L   ，321 21 (mod ) n n n L L L ， 323 23( 1) (mod )nn n n L L L   ，325 25 (mod ) n n n L L L ，327 27( 1) (mod )nn n n L L L   ， 329 29 (mod ) n n n L L L ，331 31( 1) (mod ) n n nn L L L   ，333 33 (mod ) n n n L L L ， 335 35( 1) (mod )nn n n L L L   ，337 37 (mod ) n n n L L L . （2-11）证明下面以11n L为例，其余同余式同理可证.根据比内公式可得 11 111110 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 63 7 2 8 9 102 5 5 8 8 2 2 6 6 3 3 4 454 4 2 2258( )()(( 3 ) ( ) ( ) ( )( ))( 3( 1) ( 1)nnnn n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nnnn n n nnnn n nLLLL L L                                                           6 4 2 ( 1) ).nn n n L L L    （2-12）由5n L，8n L，6n L，4n L，2n L的结论可设 351 5 n n n L k L L ，282 2 nn L k L ，263 2( 1)nnn L k L   ， 242 2 nn L k L ，225 2( 1)nnn L k L   ，（2-13）则有 3 2 2 211 1 2 36 4 2 2 2 2 21 1 2 3 4 53 4 21 1 2 3 4 5( 5 ) 3( 1) ( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) ( 2) 2( 1)10 25 ( 1) ( 1) 11( 1)10 25 ( 1) ( 1) 11( 1)n n n n nn n n n n nn n nn n n n n n n nn n nn n n nL L k L L k L k LL k L k L L k L k L k L k LL k L k L k k k k L                                         311( 1) (mod ).nnn LL  （2-14）结论成立. 引理 4 11 5(mod10) n Ln ；19 9(mod18) n Ln . （2-15）证明以素因子11为例，19同理可证. 设n r为n L模11的最小非负剩余，根据引理 2可知 10 9 10 1 1 1 34 55 (33 1) 55 (mod11) n n n n n n n n L F L F L L L L L L            ，（2-16）故n L模 11的最小非负剩余n r以 10为周期.通过简单计算可得到下列结果，如表1所示.