常微分方程中变量分离法在初等代数中的应用

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摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录Ⅲ

1引言1

2变量分离思想概述-1

3变量分离思想在初等代数中的应用2

3.1变量分离思想在集合问题中的应用-2

3.2变量分离思想在最值问题中的应用-3

3.3变量分离思想在不等式问题中的应用4

3.4变量分离思想在函数问题中的应用-6

4结论-9

参考文献10

致谢11
1 引言 17世纪末，变量分离思想在常微分方程中首次被提出[1]. 作为求解常微分方程最基本、最有效的方法之一，变量分离思想应用范围宽广. 其理论已由常微分方程发展到偏微分方程，从线性领域发展到非线性研究领域，并在求解实际问题中有着重要应用. 然而，目前关于变量分离思想与中学数学关联的研究并不多见，文献[2]讨论了常微分方程对中学数学的指导作用，但对于分离变量思想的研究并未深入展开，文献[3]、[4]、[5]、[6]主要是针对几个具体的例子,说明如何利用分离变量思想求解一类特定的初等代数问题，但未对相关问题进行系统、细致的分类与研究. 本文主要研究变量分离思想在初等数学中的应用，通过研究集合问题、最值问题、不等式问题以及函数问题，体现出变量分离思想在解决一些初等代数问题中的优越性，并拓宽了变量分离思想的应用范围. 本文结构如下：本文首先阐述变量分离思想的概念及解题思想，接下来研究常微分方程中的分离变量思想和初等代数的联系，将相关问题进行系统化整理，做出细致的分类，并总结出使用变量分离思想在解决初等代数问题的优越性. 最后，本文将对本次研究的成果进行总结，并拟定进一步研究方案. 2 变量分离思想概述 1691 年，莱布尼茨在求解常微分方程时，首次提出了变量分离思想. 所谓变量分离思想是分离方程中含有各个不同变量的项，从而将原方程分为若干个只含有一个自变量且更易于求解的常微分方程，并通过数学知识求出各个方程的通解，最后将这些通解组合起来，得到方程的解. 此法可以将复杂的方程简单化，下面介绍一下使用变量分离思想的解题思路. 形如   dyf x ydx 的方程，称为变量分离方程，这里  fx和  y 分别是x，y的连续函数，若  0 y  ，我们可以将其改写为   dyf x dxy ，对上式两边取积分得2    f x dx cy  . 从而解出方程. 当然，我们还需寻求  0 y  的解0 y，若0 yy 不在之前解得的方程中，需在结果中补上特解0 yy ，这种方法就是变量分离法. 在上述求解过程中，“变量分离”起着重要作用. 3 变量分离思想在初等代数中的应用变量分离思想不仅在高等数学中具有重要作用，在初等代数问题中同样扮演着重要角色. 接下来，我们将变量分离思想应用于解决集合问题、最值问题、不等式问题以及函数问题，并总结出变量分离思想在解决初等代数问题时的优越性. 3.1 变量分离思想在集合问题中的应用变量分离思想对于解决一些集合问题时有着重要的指导作用，尤其是在解决一个变量范围已知，另一个变量范围待求的问题中，有着广泛的应用. 例1 设集合  2| 2 2 4 0 A x x x a     ，  ,0 B  ，且AB 至少有两个子集，求实数a的取值范围. 解1：此问题的通常解法为分类讨论，因为AB 至少有两个子集，所以， 22 2 4 0 f x x x a     至少有一个负根，现在分三类情况进行讨论： ①22 2 4 0 x x a    有一个正根，一个负根，则  00 f ，解得2 a ； ②若有一个负根，一个零根，则有  00 f ，故2 a ，此时，0 x 或2 x ，不成立，故此情况不合题意； ③若有两个负根，于是我们有 12120,2 0,2 4 0.xxx x a         通过计算可得，此方程组无解. 综上：a的取值范围为  ,2  . 上述解法较为繁复，如果我们使用变量分离的思想解决此问题将会简化解题过程. 解2：由 22 2 4 0 x x a    ，分离变量可得 2 122a x x    ，0 x . 记  2 122f x x x    ，0 x ，则a应在  fx的值域中. 故有    2 13122f x x    . 则  y f x ，0 x 的值域为  ,2  ，故a的取值范围为  ,2  . 该例题将变量分离思想应用到解决集合问题中. 通过该例题可见，如果按照一般方法来计算，有些问题将会是十分复杂的，但如果利用了常微分方程中的思想方法解题，解题过程将得到简化. 3.2 变量分离思想在最值问题中的应用在一些与方程有关的问题中，如果一个变量的最值已知，在其取最值时另几个变量的值待求，那么此方程可以通过变量分离的思想简化解题过程. 例2 已知：  0,1 a，且x满足log 3log log 3 a x a x a y   ，若y有最大值24，求y取最大值时x与a的值. 解：首先使用对数的换底公式，将题目中的等式化为 log 3log 3log logaaaayxxx  ，即有  2log 3log 3 log 0 a a a x x y    . 将y分离出来  2log log 3log 3 a a a y x x   ，即 233log log24aa yx   .