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2.2.1 阿基米德的思想
真正使圆周率的计算建立在科学基础上的第一人是古希腊伟大的数学家阿基米德( Archimedes，公元前287－公元前212)，是他首先提出了借助数学过程而不是通过测量来精确π值的，他的方法被称为“穷竭法”. 公元前240年，阿基米德在他的著作《圆的度量》中这样指出：从圆的内接和外切正六边形开始，每次增加一倍边数，用一系列的内接和外切正多边形来穷竭圆的周长，从而得到圆周与半径之比大约在 和 之间，即
（如图1). 在这本书中，阿基米德第一次用上、下界来确定π的近似值，而且提供了误差的估算方法和计算 .数学史上认为，这是计算π值的第一次科学尝试，在随后的700年里，这个数值一直是“最精确”的.
2.2.2 刘徽的割圆术
在我国，九章算术中的《方田》章中有这样两道题：31题：“今有圆田，周三十步，径十步，问为田几何？ 答曰：七十五步.”32题：“又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一，问为田几何？ 答曰：十一亩九十步十二分步之一.”公元263年左右，我国数学家刘徽(生于公元250年左右)用他的割圆术开始了我国数学发展史上对圆周率进行研究的新篇章. 刘徽在注释《九章算术》时独立地发现了这种用几何方法求圆周率的方法，“割之弥细，所失弥少，割之又割至少不可割，则与圆合体而无所失矣”，这反映了刘徽用极限的方法求圆周率的思想,他称之为“割圆术”. 与阿基米德不同的是，刘徽只用圆内接正多边形，加上每个边和外切线组成的小矩形，就可以确定圆面积的上、下界，从而确定圆周率的上下界.
刘徽算出了圆内接正3072边形的面积，得到圆周率的近似值为 ，约3.1416，人们为纪念他称之为“徽率”.具体方法如下：如图2所示，设
= =
( 表示正六边形的边长， 的表示正十二边形的边长)
那么从正n边形的边长可以推出正2n边形的边长，
如图正十二边形的面积为
那可以推出正2n边形的面积
而我们还可以看出图中圆的面积比正十二边形的面积大，但比正十二边形与6个阴影部分的面积和要小，我们甚至能够得到这6个阴影部分的面积就是正十二边形与正六边形的面积差，记为 ，那么就有
将之无限分割下去，就是正2n边形与正n边形的面积之差，就能得到
这比阿基米德用内接和外切正多边形双向逼近更为简洁，令人可惜的是，由于当时的人们对它缺乏理解而没能够被重视.
2.2.3 祖冲之的贡献
祖冲之对圆周率最大的贡献有两点.其一是求得圆周率：源^自·751·文.论,文'网]www.751com.cn ,其二是得到圆周率的两个近似分数：即约率为 ，密率为 . 这是非常了不起的成就, 因为你会发现在所有分母不超过16700 的分数中, 根本找不到比密率更接近π的分数了, 比它更接近π的分数中分母最小的是 , 祖冲之当时的计算方法原载于他的著作《缀术》中, 很可惜的是北宋元丰七年( 1084 年) 刻印的各种算经即已失传.
《隋书.律历志》中有这样的记载:“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间. 密率: 圆径一百一十三，圆周三百五十五. 约率，圆径七，周二十二.”[3]这说明了祖冲之关于圆周率π的两大贡献. 他算出的π的7位小数，不但是当时最精确的，而且在随后将近1000年的时间里都遥遥领先于世界各地，所以有数学史家提议将这一发现命名为“祖率”. 后人纪念祖冲之的事迹有很多: 莫斯科大学礼堂的走廊上有祖冲之的大理石雕像，巴黎科学博物馆的墙壁上有专门的文字介绍了祖冲之所求的圆周率，在中国发行了祖冲之纪念邮票，甚至月球上有用祖冲之名字命名的环形山[3]