数形结合法在高等数学中的应用

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摘要：数形结合就是把问题的数字和图形结合起来考察，根据问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究。在高等数学学习中运用数形结合，能使抽象的问题直观、简单、明了，使学习轻松有趣。文章从概念、定理的理解以及解题等方面归纳总结了数形结合思想在高等数学中的应用。52482

毕业论文关键词: 数形结合，图形思维，几何直观，形象思维

Abstract：Combination of number and shape is combining the question of number and shape, according to solving the question need, we can transform them each other .Combination of number and shape , put to use in higher mathematics , can make the abstract problem visual , simple and clear , and make the study easy and happy . This article sums up the use of combination of number and shape in higher mathematics from concepts , theorems , and how to do the mathematics problem , and other ways .

Key words ： combination of number and shape ;graphical thinking ; visual geometry；imaginational thinking

目录 1.引言 3

2.利用数形结合深化对概念的理解 4

2.1概率论中的数形结合思想 4

3. 利用数形结合思想加强对定理的理解与证明 5

3.1微积分中的数形结合思想 5

4.利用数形结合思想帮助解题 7

4.1解决初等代数中的问题 7

4.2数形结合在解析几何中的体现… … … 11

结论 … 12

参考文献 … 13

致谢 … 14

1.引言

数形结合就是“以形助数”或“以数解形”，就是充分的利用数与形的结合来学习，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的。“数”与“形”反映了同一事物两个方面的属性。数就是抽象的数学语言，有着逻辑，严谨的个性，一般较为抽象，难懂。而形就是图像语言，直观，形象，一般是较为简单易懂。数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好的起到化难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。它在学习高等数学过程中解决数学问题上有着重要的作用。数形结合思想能培养各方面的思维能力，包括形象思维和逻辑思维。深化对数学概念的理解，提高解题速度和效率。由此我们可以看出数形结合思想是重要的数学思想之一。

数形结合思想在解题过程中应用十分广泛。本文研究数形结合思想在高等数学中的部分应用，主要分为数形结合思想在高等数学中对概念的理解，对定理的掌握及证明，以及对解题的作用作一次探讨，谈谈高等数学中的一些数形结合思想的应用。如：在解决概率论问题中，对条件概率定义的理解，在数学分析中关于微积分的一些定理的证明，如积分第一中值定理的证明，取极值的第一充分条件的证明，还有一些是初等数学中的问题，如：在集合问题中求两个集合的交集，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，解决线性规划问题，解决解析几何问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。