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    摘 要:本文利用 Liouville 恒等式和因子和函数的卷积和公式推导了自然数n表为x1(x1-1)/2+3x2(x2-1)/2+x3(x3-1)/2+3x4(x4-1)/2和x1(x1-1)/2+x2(x2-1)/2+x3(x3-1)/2+x4(x4-1)/2 +k(x5(x5-1)/2+x6(x6-1)/2+x7(x7-1)/2+x8(x8-1)/2)(k=2, 3)的方法数。我们也获得了Ramanujan 函数的六个新公式。52484

    毕业论文关键词: Liouville恒等式,三角形数,因子和,偶函数

    Abstract:  In this paper, by using Liouville’s identities and formulas for convolution sums involving the sum of pisors we deduce formulas for the number of representations of n as  x1(x1-1)/2+3x2(x2-1)/2+x3(x3-1)/2+3x4(x4-1)/2 and x1(x1-1)/2+x2(x2-1)/2+x3(x3-1)/2+x4(x4-1)/2 +k(x5(x5-1)/2+x6(x6-1)/2+x7(x7-1)/2+x8(x8-1)/2) (k=2,3). We also obtain six formulas for Ramanujan’s function.

    Key words: Liouville’s identity, triangular number, the sum of pisors, even function

    目   录

    1. 引言4

    2.  的一般公式5

    3.  的一般公式…7

    4.  的一般公式9

    5.  与 的计算公式…11

    6.  的一些公式14

    结论…19

    参考文献 20

    致谢 21

    1. 引言

    19世纪法国数学家Liouville 提出了18 个在数论上有重要用途的恒等式(可参见 ),这些恒等式可以用来计算一些因子和函数的卷积和,也可以计算一些类似   的和, 这里N为正整数集, , 表示Legendre-Jacobi-Kronecker符号,其中 , 且 ,一些简单的  的值如下:

      在计算一个自然数n表为若干个平方数或三角形数(形如 , )和的方法数时,这些卷积和公式和  的公式起着非常重要的作用。例如在 中,通过用这些公式计算得到了:

     我们用 表示非负三角形数组成的集合,即 ,并令

       即 表示不定方程 在 中解的个数。在本文中,我们利用Liouville恒等式和因子和的卷积和得到了一些自然数n表为三角形数和的方法数公式,如 (参见定理2.1), (参见定理3.1), (参见定理4.1)。虽然   的公式在 中已经得到,但用的是一些比较高深的方法,而我们只用了一些相对较初等的方法就得到了这个公式。令

    在本文的最后,我们得到了如下与Ramanujan函数 有关的因子和函数的卷积和公式,一些其它的因子和的卷积和公式见 ,

     我们也得到了如下的因子和函数的卷积和公式,源'自^751;文,论`文'网]www.751com.cn

    2.  的一般公式

        在证明 的公式时需用如下引理,这些引理都是已知的。以下都用 , 表示复数集。

    引理2.1  , .  设 ,则 

     .

    引理2.2   .  设 ,  ,则有      

      ,

    这里       其中 .

    引理2.3   .  设 为 到 的映射,且 为偶函数,则 时有

     ,

    这里                .

    若 (m为奇数),则引理2.3等价于:

    引理2.4   .  设 为 到 的映射,且 为偶函数,则 时有

              .

    定理2.1.  如果 , ( , ), 那么   

      .

    证明:     在引理2.4中取 得:所以                      .

    3.  的一般公式

    在证明 的公式时需用如下引理,这些引理都是已知的。令     

        引理3.1   Theorem 15.1 .  设 ,则 

        引理3.2   Theorem 15.2 .  设 ,则

        引理3.3   Theorem 1 .  设 ,则这里的 由下式给出:

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