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其中 ， ， 。当 为0时， 为零矩阵。并且由推论3，我们得到了性质2：若非零矩阵 的等价于阶梯矩阵
其中 ， ， ，在 中存在 个元，这 个元的乘积不等于 ，而任意 个元的乘积均等于 ，则 为 的秩。特殊的，若 ，则 的秩为 。这是一个计算矩阵秩的方法，用这个方法计算矩阵的秩更为简便。在接下来的例题中我们也给出了具体的说明。类比[5]中矩阵相关性质，我们得到了定理 ：对角矩阵乘积的秩不超过各因子的秩和定理 ：对角矩阵和的秩不超过各因子秩的和。但数域中成立的命题在剩余类环上不一定成立，例如命题：设 ， ，有 则 。在环 上 ， ，此时 。还有关于逆矩阵的唯一性，我们把它作为定理 做出了相关的证明。在剩余类环上线性方程组的求解应用中，由剩余类环定义可知在剩余类环 上求解线性方程组 等价于求解同余式组 。因此，下面用同余的理论来讨论 上线性方程组的解。关于一元线性同余式组，在初等数论中己经有比较完满的理论，文中我们看看关于多元线性同余式组
的具体解法。我们将运用实例来说明解法的可行性。由此，我们发现矩阵的性质与线性方程组的求解在数域和剩余类环上既有相同点也有不同点。我们在文中找出它们的相同，发现它们的不同。
2 剩余类环上矩阵的秩
定义2.1 由整数除以 ，按余数分类所构成的环。两个整数 称为同属一类，当且仅当 其中 ，对 中任意 ，当 ， ，就规定： ， ( )，则 对此剩余类的加法和乘法做成一个环，称为模 的剩余类环。当 是合数时， 是有零因子、有单位元的交换环；当 是素数时， 是域，称为模 的剩余类域。
在本文中讨论当 是合数时 上矩阵的性质 ，用 表示环 中的可逆元集合。而剩余类环 上的 矩阵的集合记为 ， 上矩阵的加法、数量乘法、乘法和转置以及方阵的行列式的定义和数域上的矩阵的定义类似。我们先来看几个有关行列式的引理。
引理 1 将一个行列式的两行(列)交换，行列式的符号改变。
引理2 将一个行列式的某一行(列)的所有元素同时乘以 中的一个元素等于以该数乘以这个行列式。
推论 1 如果一个行列式两行(列)相同，那么这个行列式为 。所谓两行(列)相同就是说两行(列)的对应元素都相等。
推论 2 如果一个行列式有两行(列)成比例，那么这个行列式为0。
引理3 设行列式 的第 行的所有元素都可以表示成两项的和