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从20世纪90年代开始，有关不等式的问题就成为了热门的研究话题。在初等数学、高等代数、数学分析、微分方程等领域都有着广泛的应用。目前，随着不等式的应用越来越广泛，几个重要不等式也越来越受重视，研究Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式有巨大的实用价值，围绕这几类不等式的重点知识内容展开的论文有许许多多。刘学飞在参考文献[2]中介绍了Jensen不等式及其推论，并通过构造辅助函数，利用Jensen不等式完成了对一类初等不等式的证明。林越在参考文献[3]中研究了Cauchy-Schwarz不等式的三种不同形式：代数形式、向量形式和积分形式，并对三种形式分别给出了不同的证明。伏春玲和董建德在参考文献[4]中对均值不等式在指数方面进行了推广，并且从“n个正数的算术平均数大于等于几何平均数”这一重要不等式深入到了“加权算术平均值的函数与函数值的加权算术平均值之间的关系”，继而得出了“n个正数的加权算术平均数不小于它们的加权几何平均数”的结论。另外，还有众多学者研究了这几类不等式在不同方面的应用，如参考文献[7-12]中介绍了Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式的各种应用，并分别给出了精彩的例题。源'自^751;文,论`文'网]www.751com.cn
受上述参考文献研究成果的启发，笔者决定本文研究Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式这三个重要不等式的应用。本文从几类重要的不等式定义出发，分别研究Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式在证明不等式和求最值等方面的应用，并给出相应的例题，最后进行归纳总结。本文分三个章节来阐述主要内容。第一章是Jensen不等式及其应用，这一章分两个小节，分别是介绍了Jensen不等式简介和 Jensen不等式的应用，并从证明不等式和求最值两方面来介绍Jensen不等式的应用。第二章是柯西不等式及其应用，这一章分两个小节，分别是柯西不等式简介和分别从证明不等式以及求最值两方面介绍了柯西不等式的应用。第三章是均值不等式及其应用，这一章分两个小节，分别是均值不等式简介和分别从证明不等式、求最值和比较大小三个方面介绍了均值不等式的应用。
2 Jensen不等式及其应用
2.1 Jensen不等式简介
在高等数学中，Jensen不等式是一个较为典型的不等式，它与凹函数和凸函数有着密切的联系。将Jensen不等式作为基础不等式可推得在高等数学中一些常见的重要不等式，如柯西不等式、均值不等式、 不等式和 不等式等。因此，研究、推广、应用Jensen不等式是非常有意义的。以下是Jensen不等式和它的两个推论。