2. 3 近似与误差的关系
误差与近似是相互联系相互确定的关系.在实际计算题中,如果确定了该题的近似值,那么误差根据上述公式 得出;反之若给出问题的误差,也可以确定相应的近似值.一般地,问题中若限制误差的一定范围,则可去确定使之成立的条件及相应的近似值范围.如用色谱测量一种样品 的含量,测量的结果为 ,若样品 的“真值”是 ,那么测量的误差是 .若已知一种样品 的含量是 ,而测量误差是 ,那么样品的测量值就为 或 .
3 函数值的近似计算
3.1 微分法
(1)当函数 在点 处可导,且 很小时,有近似公式
,当 很小时,有 .
(2)当二元函数 的两个偏导数 , 在点 处连续,且 , 都较小时,有如下近似公式
.例1 求 的近似值.
解 由于 ,因此取 , , ,
由 得到
例2 求 的近似值.
解 设 ,令 , , , .
由上述公式有
3.2 泰勒公式法
多项式函数是各类函数中最简单的一种,用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.