例1 证明不等式:当 时, .源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
证 令 ,则有 .
因为当 时, ,所以 在 上单调递增.
故当 时, ,既 .
例2 证明不等式:当 时, .
证 令 ,则有 .因为当 时, ,所以 在 上单调递减,
可以得到: 故 在 上单调递减,当 时, ,
故 ,即 .
2.2 利用中值定理证明不等式
拉格朗日中值定理[1]:若函数 满足如下条件:
(1) 在闭区间 上连续;
(2) 在开区间 内可导,
则在 内至少存在一点 ,使得 .
拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式:
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,应用最广泛的是拉格朗日中值定理.利用微分中值定理证明不等式时,关键是选取适当的中值定理和中值公式,其证明的一般步骤为:第一步,根据所要证明的不等式,构造适当的辅助函数 和区间 (若要用柯西中值定理,则要选取 和 与相应的区间 );第二步,当函数 在区间 上满足中值定理的条件时,就会得到相应的中值公式;第三步,对中值公式进行适当的变化得到所要证明的不等式.