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摘 要：对自然数n>2，令f0(n)是使得Cnk>2n/n成立的最小正整数k，f1(n)是使得Cnk >2n/(n+1)成立的最小正整数k，本文给出了f0(n)和f1(n)的四个新的性质.
毕业论文关键词：序列，二项式系数，不等式54248
Abstract：For a positive integer n>2, let f0(n) be the least positive integer k such that Cnk>2n/n and let f1(n) be the least positive integer k such that Cnk >2n/(n+1). In this paper we give four properties of f0(n) and f1(n) .
Keywords：sequence, binomial coefficient, inequality
目 录
1 引言 4
2 定理1的证明 5
3 定理2的证明 5
3.1 引理 5
3.2 定理2的证明 6
4 定理3的证明 6
5 定理4的证明 6
5.1 引理 6
5.2 定理4的证明 7
结论 12
参考文献 13
致谢 14
1 引言
在本文中，N为正整数集， 为正整数， 为不超过 的最大整数， 为大于或等于 的最小整数.对于 和 ，我们有
，从而 .
由当 时， 得 .
对 ，我们定义 为使得 成立的最小正整数 , 为使得 成立的最小正整数 .由定义知 .
在文献[1]和[2]中，孙智宏与D.Kim给出了 与 的一些性质.如有：
性质1 当 时， 且 .
性质2 当 时， 且 .
性质3 当 时， .
性质4 当 且 时， 且 .
性质5 当 时， ， .
性质6 当 时， .
本文进一步研究 与 的性质，得到如下四个定理：
定理1 设 ，则存在 ,使得 .
定理2 当 时， 和 .
定理3 当 ， 时， .
定理4 设 ， ，则 .
2 定理1的证明
定理1 设 ，则存在 ,使得 .
证明：对 施行数学归纳法.当 时，由于 ，故等式成立. 假设 时，存在 ,使得 现在考虑 的情形.先假定 . 因为 时，等式成立.所以只需考虑 的情形，先假设 ，由于 等式成立,而 时，由性质1和性质5知 ， ，等式也成立,故在此假设下等式是成立的.再假设 ，则由性质4可知 =k， (n+3)=
=k+1,从而有 ,故等式成立.由上述可知在此假定下等式是成立的.再假定 ，则由性质4可知 ， =
，从而有 ，故等式成立.由上述知当 时，存在 使得 根据归纳法知 时，存在 使得 .
推论1 设 ，则存在 ，使得 .源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
推论2 设 ，则存在 ，使得 .
推论3 有无穷个 使 .
证明：假设有 个 使 ，即可设 ，
其中 ，则有 .由性质4知 , ,
即 与 矛盾，故假设不成立，从而有无穷个 使