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摘要：本文在阐述幂零矩阵的概念的基础上，分析论证了幂零矩阵的性质，讨论了矩阵幂零矩阵的充分必要条件以及矩阵是幂零矩阵的判定方法，指出了幂零矩阵在求逆矩阵方面的优势，并对它在实际中的应用进行一些探讨。54325
毕业论文关键词：幂零矩阵，逆矩阵， 标准型，特征值，迹
Abstract：On the basis of explaining the concept of nilpotent matrix , this paper carried out the analysis and proof of the properties of nilpotent matrix, discussed the necessary and sufficient condition matrix nilpotent matrix and the methods which is nilpotent matrix. In addition，it also pointed out the advantages of nilpotent matrix when we are finding inverse matrix, and made discussion for it in the actual application.
Key words：nilpotent matrix,inverse matrix, standard,characteristic value,trace
目 录
1．引言 4
2．幂零矩阵的定义和相关定理 4
2.1 幂零矩阵的定义 4
2.2相关引理 4
3．幂零矩阵的判定和其性质 5
3.1幂零矩阵的判定 5
3.2幂零矩阵的基本性质 6
3.3幂零矩阵的 标准型 7
3.4幂零矩阵的其他性质 10
4．幂零矩阵性质的应用 11
4.1幂零矩阵在求逆矩阵和求方幂问题中的应用 11
4.2幂零矩阵在证明题中的应用 13
结论 15
参考文献 16
致 谢 17
1．引言
矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目.矩阵理论起初是线性代数的一个小分支，但随着科学技术的迅速发展,它在经济管理、金融、保险、社会科学等领域中发挥着十分重要的作用.由于其陆续在代数、图论、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科.幂零矩阵是一类特殊而又十分重要的矩阵.自20世纪60年代以来，经众多的学者不懈的分析总结，探讨出了一些幂零矩阵的性质，并将其应用到矩阵理论的各个方面.近年来幂零矩阵也得到了进一步发展.在许多数学文献中曾给出了幂零矩阵的定义，但对它的性质和应用的研究较为缺乏，因此我们有很大的必要加强对这方面的研究.源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
2．幂零矩阵的定义及相关引理
2.1 幂零矩阵的定义
定义1.设 为数域 上的 级方阵，若存在自然数 ，使得矩阵 满足 ，则 称为幂零矩阵.[1]
定义2.设 为数域 上的 幂零矩阵，满足 的最小自然数 称为 的幂零指数，并称 是 次幂零矩阵.另外， 级零矩阵是特殊的幂零矩阵，其幂零指数为1.
2.2相关引理
引理1.设 , 为 级方阵，则 .
引理2.行列式 称为 级的范德蒙行列式，则
引理3.相似矩阵具有相同的特征值.
引理4.（哈密尔顿—凯莱定理）设 是 级方阵， 是 的特征多项
式，则有 .[2]
引理5.设 为 级矩阵 的特征值，则有 ，
且对任意的多项式 有 的特征值为 .
引理6.每一个 级的复矩阵 都与一 矩阵相似，这个 矩阵除去 块的排序外被矩阵 唯一决定的，它称为 的 标准形.
引理7. 形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值