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摘 要：在一般教科书中，三角函数的定义需要借助几何直观，然而几何直观显然不够严谨，同时不利于学习者对概念及定义的了解与掌握；而用幂级数来定义三角函数，能够更加严格，但其相关定理公式的证明较为繁复，本文将从正弦函数余弦函数的幂级数展开式出发，对正弦函数和余弦函数的性质、定理及公式给出了证明，找到了一些幂级数定义在三角函数研究中的应用。66009
毕业论文关键词：正弦函数，余弦函数，幂级数
Abstract：In many textbooks, Trigonometric functions are defined by means of geometrical intuition. However, this method is not rigorous. Meanwhile, it goes against to understanding and mastery of concepts for learners. If we define trigonometric functions by power series, it will be more precise. However, proofs of related theorems and formulas are complex. This essay is based on power series expansion of sinusoidal function and cosine function. Properties, theorems and formulas are proved. Finally we find out applications of power series’ definition of trigonometric functions.
Keywords：sinusoidal function, cosine function, power series
目 录
1 前言 4
2 正弦函数和余弦函数的幂级数定义 7
2.1级数与函数项级数 7
2.2正弦和余弦函数的定义 8
3三角函数幂级数的性质 10
3.1三角函数基本性质 10
3.2 三角公式 10
3.3 三角函数幂级数的周期性 12
4 三角函数幂级数的应用 14
结 论 16
参 考 文 献 17
1 前言
三角学的起源可以追溯到1600年前，在已经出土的文献中，可以考察到古埃及人建造金字塔的过程中，为保证金字塔建筑的统一规模，即令其每边的倾斜角度相同，就已经用到了三角学的知识，只是当时的古埃及人还未能给出一个明确的定义，三角学则处于萌芽阶段。而在西元前150年至100年期间，希腊人为了研究天文学，才逐步开展了对三角学的探究。在对天文学的探究的不断推进中，三角学得到了不断的发展，终而于13世纪，自立门户，成为了一门独立的科学。在三角学正式发展的早期，三角函数是完全建立在几何的基础上进行的，三角函数的几何定义如下：
锐角的三角函数几何定义为：当平面上三点 、 、 的连线 、 、 ，构成一个直角三角形，其中∠ 为直角（如图1）。那么，对于 与 的夹角∠ 而言：
称为 的正弦，
称为 的余弦，
称为 的正切，
称为 的余切，
称为 的余割，
称为 的正割。
17世纪，由于研究超越函数的需要，无穷级数的研究得到了空前的发展。Newton创造了级数反演法，并运用其第一次得到了 与 的幂级数 。首先他考虑到 ，此时角 是圆扇形 的面积的两倍，但是Newton通过将 二项式展开再逐项求积分，得到了弓形 的面积 ，由此可知，
=
,
从而得到
.
而后Newton运用级数的反演，获得了 的幂级数
,
利用相同的方法他后来又陆续得到其他一些公式的级数展开，如指数函数、 等。