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1673年，Leibniz同样独立地求出了 、 和 等函数的无穷级数展开式 ，以及圆的面积、双曲线面积的具体展开式，并且将这些展开式与余割函数、反正切函数和正弦函数等联系起来。
Taylor将Gregory-Newton内插公式发展成一个把函数展开无穷级数的最有力的方法，由Gregory-Newton公式他推导出了Taylor定理 。他用该定理把函数展开成级数，得到了如正弦函数及余弦函数等的标准展开式，并用这一方法求出微分方程的解。Taylor是第一个发表此级数的数学家，但他并不是这探索道路上的第一人，在他之前，至少还有五位研究过此级数的数学家 ，分别是：James Gregory、Newton、Leibniz、John Bernoulli(1667-1748) 和Abraham de Moivre (1667-1754)。详尽内容参见文献《Brook Taylor and the Methods of Increments》。
1748年，Euler发表了一本名为《无穷小分析引论》的书，在书中，Euler提出了将三角量看作函数，将其视为一种与角相对应的函数值，即任意一个角的三角函数，都可将其视为，是以该角的顶点为圆心，某定长为半径作圆 ，角的一条边与圆周的交点为 ，过 点作角的另一边的垂线，垂足为点 ，得到 、 、 这三条线段，线段之间相互的比值即为三角函数值，这样的定义使得三角学不再仅仅只是研究解三角形，不再需要借助几何直观，而是可以脱离几何图形进行研究的学科，Euler给予了三角学一个非常科学的定义。
本文所做的工作，即从幂级数出发给出三角函数的定义，对正弦函数和余弦函数的一些基本性质、公式进行了描述与证明，其中，重点讨论了三角函数幂级数的周期性，证明了 与 为周期函数，它们的周期为 ，并且估算出了 的值。找到了幂级数定义在三角函数研究中的两个应用。
2 正弦函数和余弦函数的幂级数定义
2.1级数与函数项级数
定义 ：给定一个数列 ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中 称为数项级数 的通项。
设 是定义在数集 上的一个函数列，来.自/751论|文-网www.751com.cn/
表达式
称为定义在 上的函数项级数，简记为 或 。
定理1 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设 为正项级数，且存在某正整数 及常数 ，
（ⅰ）若对一切 ，成立不等式文献综述
,
则级数 收敛。
（ⅱ）若对一切 ，成立不等式
,
则级数 发散。
设若级数 各项绝对值所组成的级数 收敛，则称原级数 为绝对收敛。
定理2 （柯西定理）若级数 、 都绝对收敛，则对这两个级数中每一项所有可能的乘积 按任意顺序排列所得到的级数 也绝对收敛，则其和等于 。
定理3 （魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数 定义在数集 上， 为收敛的正项级数，若对一切 ，有