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摘 要：幂等矩阵是一类重要的的矩阵，本文在给出幂等矩阵和幂等变换基本性质的基础上，讨论了幂等矩阵的秩、特征值、迹、相似对角化等有关的性质,并作为拓展给出了其相关应用.
毕业论文关键词：幂等矩阵，幂等变换，特征值，对角化.54889
Abstract: idempotent matrix is a kind of important matrix, this paper given the basic properties of idempotent matrix and the idempotent transformation, the rank,characteristic value ,trace, similarity diagonalization and so on had been discussed, given their related applications as the development.
Key words : idempotent matrix，idempotent transformation，characteristic value，diagonalization
目 录
1 引言 4
2 预备知识 4
3 幂等矩阵的基本性质 4
4 幂等变换的基本性质 6
5 幂等矩阵对角化的性质 8
6 幂等矩阵数值特征的有关性质10
7 幂等矩阵和幂等变换的应用11
结论 13
参考文献 14
1 引言
在高等代数中，矩阵的角色就如同初等数学中实数的角色一样,矩阵可以将很多相对复杂的问题形式转变为更加简洁明了,从而有关矩阵的理论与方法试用于大多问题.幂等矩阵含有许多其他一般矩阵不具备的特殊性质,所以在解决实际问题上有很大的应用,在可对角化矩阵的分解中，它提供了一种新的解题思路,同时也是求解空间的投影的一种重要的运算工具.
随着全世界进入到了信息化时代,传输和存储信息,安全是非常重要的.保证信息在系统中具有严密性、完整性和认证性就是信息系统的安全的定义.其中认证性是己方为了能够识别和确认信息的真伪,防止敌方的主动攻击.幂等矩阵能够编写认证码，而它是解决信息认证问题的一种具体工具.当然幂等矩阵的应用还延伸到其他章节,有些还在挖掘之中.因此,幂等矩阵值得深入研究．
2 预备知识
定义1[5] 对 阶方阵 , 若 则称 为幂等矩阵.
定义2[5] 设 是数域 上 维线性空间 的线性变换,若 ,则称 是幂等变换.
表示实数域; 表示实数域 维线性空间; 表示实数域上的 阶矩阵; 表示复数域; 表示复数域 维列向量空间; 表示矩阵 的转置; 表示矩阵 的伴随矩阵; 表示矩阵 的逆; 表示矩阵 的行列式; 表示矩阵 的秩; 表示矩阵 的核空间; 表示矩阵 的值域; 表示线性空间 的维数; 表示数域 上 维线性空间 的线性变换; 表示矩阵 与 相似.
3 幂等矩阵的简单性质
性质1[3] 与幂等矩阵相似的矩阵是幂等矩阵.
证明 设 为 阶幂等矩阵,则 且 与 相似,则存在 阶可逆矩阵 ,使得 ,从而 ,因此 是幂等矩阵 而对于一般的幂等矩阵 ,其中 为正整数, 由归纳假设,当 时.因为 是幂等矩阵,则 .对等式两边左乘 ,得 , ,所以 成立.设 成立,即存在正整数 使 成立, ，所以 对于一切正整数 都成立．
性质2[4] 同阶可交换的幂等矩阵的乘积是幂等矩阵.
证明 设 , 是同阶可交换矩阵则 , .
,所以 是幂等矩阵.
性质3[4] 幂等矩阵一定是方阵．
证明 假设矩阵 为幂等矩阵,则 ,即 ,在乘积的定义中,第一个矩阵 的列数 与第二个矩阵 行数 必须相等,即 是方阵．
性质4 幂等矩阵的转置矩阵是幂等矩阵.
证明 因为 , 为 的转置矩阵,则 .所以 是幂等矩阵.同理可证 , 均是幂等矩阵.若 亦为数域 上的幂等矩阵, 亦可得到上述结论.