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性质5[4] 设 为幂等矩阵，且 可逆，则 为单位矩阵．
证明 因为 是幂等矩阵,则 .又因为 是可逆矩阵, 存在.于是在等式两边左乘 ,得 ,即 为单位矩阵．
现对幂等矩阵 的元素做一般化推广,不能由此误认为幂等矩阵要么是零矩阵,要么是单位矩阵,二者必居其一.设 ,则
要使 为幂等矩阵,必须即有 ,
当 且 时, , ,则 为幂等矩阵.这只是一种情况,其它的可以类似的去讨论．
比如取 , , ,那么 就是一个幂等矩阵; 也是一个
幂等矩阵,这两个矩阵都不是零矩阵,也都不是单位矩阵.故零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵的两种特殊形式. 显然，当 与 都是零矩阵或者都是单位矩阵时，等式 与 都成立，再推广到一般形式,当幂等矩阵 与 既不是零矩阵也都不是单位矩阵时，如果 可逆,且 也可逆，就有等式 与 都成立．这是因为：要使 与 恒成立,必须
= = .4 幂等变换的定义及其相关性质
性质7[1] 设 是数域 上 维线性空间 的线性变换，且 则有
证明 令 . 即 ,则 源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
那么 反之 由此可得
.故 那么 综上 .
，因此 。 .则有 所以 .
设 则存在 使 又因为 所以 从而 得 所以
性质8[5] 设 , 是 维线性空间 的线性变换，若 ,且 和 都是 的不变子空间,则 .
证明 取 的一组基 , , , 和 的一组基 , , ,则 , , , , , , , 是 的一组基,且在这组基下的矩阵为 .
由于 和 都是 的不变子空间,所以 在这组基下的矩阵为 ,
于是由 有 .
性质9[4] 设 ,则 与 有相同值域的充要条件 ,
与 有相同核的充要条件是 , .
证明 充分性 因为 , ,则有 且 ,故 ,即 同理可 ，所以
必要性 因为 所以存在 , .由 任意性,可得 使 , .同理可得
充分性 因为 , , 使 ,从而 .可得 .从而 ,于是 .同理可得结论.故 .
必要性 已知 ,对 ,由 ,得 ,即 ,由 的任意性,可得结论 ,同样可得 .
性质10[2] 设 是 维线性空间.证明 中任意线性变换可表示为一个可逆线性变换与一个幂等线性变换的乘积 .
证明 任取 的一组基 ,设 是 的任意一个线性变换,且 .设秩 ,那么存在 阶可逆阵 , 使
,即 ,令 ,其中 , 均为可逆阵， 为可逆阵, ,而
,即 为幂等阵.再作 的两个线性变换如下
综上可知 ，其中 可逆， .
性质11 设 , 是 维线性空间 的线性变换, , , 是 在 上的不动点集.
证明 ,若 ,则有 .反之若 ,则 , ,于是 .综上可知 是 在 上的不动点集.