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摘 要：本文利用分块矩阵的性质举例说明分块矩阵在矩阵的逆、行列式和秩方面的应用.
毕业论文关键词：分块矩阵，逆矩阵，行列式，秩59019
Abstract：In this paper, we give examples to illustrate their applications by the properties of block matrix in terms of inverse matrix, determinant and rank.
Keywords：block matrix, inverse matrix, determinant, rank
1 引言 5
2 分块矩阵的定义及性质 5
2.1 定义 5
2.2 性质 6
3 主要应用 8
3.1 利用分块矩阵求矩阵的逆 8
3.2 利用分块矩阵求行列式 10
3.3 利用分块矩阵证明有关秩的问题 12
3.4 利用分块矩阵证明有关特征值的问题 13
结论 15
参考文献 16
致谢 17
1 引言
矩阵是高等代数中重要的一部分，也是其它非数学专业在解决问题时会用到的重要工具，特别是在处理高阶矩阵的问题时，我们为了使矩阵之间或矩阵内部的结构变得更加清晰而对矩阵进行分块.本文主要探究分块矩阵如何应用于求矩阵的逆、计算行列式、秩和特征值相关证明等方面. 通过研究一些定理和经典例题来说明分块矩阵在处理相关问题上的便捷性和变通性.
2 分块矩阵的定义及性质
2.1 定义
在讨论和运用矩阵时，我们可以将一个矩阵分成几个子矩阵，使原矩阵在结构上显得更加简单且清晰.
定义 在矩阵 的行和列之间划一些横线和纵线，把 从格式上分成几个小矩阵，每个小矩阵视为 的一个子块，以子块为元素的矩阵称为 的分块矩阵.
根据不同的问题对矩阵的分法也会不一样，常见的分法有以下四种.
（1）仅分成列向量
，其中 是 的列向量.
（2）仅分成行向量
，其中 是 的行向量.
（3）分成两个子矩阵
，其中 分别是 的若干列；
，其中 分别是 的若干行.
（4）分成四个子矩阵 .
定义 将 阶的单位矩阵进行分块，即不妨分为 ，再作相应的初等变换，得到的矩阵称为分块初等矩阵.
以常用的 分块矩阵为例，分别对分块矩阵作如下三种变换
将矩阵中的两行互换，或者两列互换；
将一个可逆矩阵左乘分块矩阵的某一行，或右乘分块矩阵的某一列；
将一个非零阵左乘分块矩阵的某一行再加到另一行上，或右乘分块矩阵的某一列再加到另一列上.
上述三种变换中，实行的行变换称为初等行变换；同样，称实行的列变换为初等列变换.
由此我们可以列出以下几种常用分块矩阵，仅以行变换为例 .
（1）分块初等对换阵 ；
（2）分块初等倍乘阵 ， ，其中 、 分别是 阶和 阶可逆方阵.
（3）分块初等倍加阵 ， ，其中 ， 均为非零矩阵.
2.2 性质
性质 分块初等矩阵都是可逆矩阵，并且
证明 （1）因为
所以
（2）因为 ，
所以 ，
同样地方法可以得到 .
（3）因为 ，
所以 ，
同样的方法可以得到
.注 通过分块初等矩阵的定义可以知道，分块初等矩阵的逆矩阵还是是同类的分块初等矩阵.
注 若矩阵 可逆，也称 为非奇异阵.
性质 如果将 的分块矩阵 作分块初等行变换，就相当于用相应的分块初等矩阵左乘 矩阵，而如果将 作初等列变换，则相当于用相应的初等矩阵右乘 矩阵（其中 需可乘，可加）.