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摘 要：微积分理论是高等数学中的重要内容之一，用它可以较好的研究函数及不等式的相关问题，本文重点介绍用微积分的相关知识来证明不等式的几种常用方法.
毕业论文关键词：导数，极值，最值，中值定理59018
Abstract：Differential and integral theroy is one of the important content of higher mathematics,it can be better to study function and inequality problems,this article focuses on introducing the knowledge of calculus to prove inequality of several commonly used methods.
Key words：derivative,the function extreme value ,exteremum.mean value theorem
目 录
1 引言 4
2 用导数证明不等式 4
2.1 用函数的单调性证明不等式 4
2.2 用函数的极值与最值证明不等式 5
2.3用函数的凹凸性来证明不等式 7
3 用中值定理证明不等式 7
3.1 用拉格朗日中值定理证明不等式 7
3.2 用柯西中值定理证明不等式 8
3.3 用Taylor公式证明不等式 9
3.4 用积分中值定理证明不等式 11
4 用定积分理论证明不等式法 11
5 结论 13
参考文献 14
致谢 15
1 引言
随着高等数学的发展，人们对于数学的认识不断加深.我们在学习高等数学中通常会涉及到一些不等式的证明，对于常见不等式大致可以分为含参量和不含参量两种.对于含参量不等式即函数不等式，常可以通过变形加以构造函数，研究函数的性质来进行证明；对于不含参量的不等式即数值不等式，常可以根据不等式的特点，构造辅助函数，将数值不等式转化为函数问题，也是通过研究函数的性质来证明.源[自*751^`论\文'网·www.751com.cn/
我们在学习初等数学时，证明不等式所用到的都是一些常规的数学方法，比如配方法、分析法、反证法、判别式法等，方法繁多且一般都没有讲求解题技巧，所以极易使解题陷入繁杂或“死胡同”的局面.故在面对一些比较难于证明的不等式，可以尝试利用微积分理论来证明，有时会比较简单点.
利用微积分理论解决不等式，相对于一些初等方法来说可以增强解题的直观性，且对于解题技巧的要求不是太高.对于一些用常规方法难于证明的不等式，我们可以观察不等式的两边不同结构特征，构造辅助函数，将不等式问题转化为函数问题，再利用微积分理论研究函数的性质借此来证明不等式.使用微积分理论解决不等式这一课题，前人已经有了很多不同的深入研究，见参考文献[1-4]. 本文着重介绍用微积分知识，如函数单调性、函数的极值与最值、函数凹凸性及中值定理等，来证明不等式的几种常用方法.
2 用导数证明不等式
2.1 可导函数的单调性证明不等式
导数定义 ：设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限
存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 .
函数单调性的导数定义 ：设函数 在 上连续，在 内可导.如果在 内 ，那么 在 上严格单调增加；如果在 内 ，那么 在 上严格单调减少.
证明方法
(1)构造辅助函数 ，观察不等式两边的特点来构造辅助函数；
(2)研究辅助函数 在 上的单调性，来证明不等式.
例1：求证:当 时， 是否恒成立.
分析：由于此不等式两边形式不一样，则可考虑将不等式两边化相同“形式”，不等式右边 可以化为 ，再将 看成一个整体 ，即可将原不等式化简为 再将其变形得 ，然后运用不等式两边之差做辅助函数