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定义2.2[2] 对于有界函数 ，它的所有子列的极限所组成的数集的最大值叫做此函数 的上极限，最小值叫做此函数的下极限.
2.2 上极限和下极限的性质
定理2 .2[3]对任何有界点列（数列） 有 .
定理2.3[3] 的充要条件是 .
证：必要性.设 ,则 的任一子列都收敛于 ,存在 的两个子列，其极限分别等于 的上极限和下极限.又 的任一子列都收敛于A ,
故这两个子列的极限都是A.所以
.充分性.设 ,由数列极限定义
定义2.2[2] 对于有界函数 ，它的所有子列的极限所组成的数集的最大值叫做此函数 的上极限，最小值叫做此函数的下极限.
2.2 上极限和下极限的性质
定理2 .2[3]对任何有界点列（数列） 有 .
定理2.3[3] 的充要条件是 .
证：必要性.设 ,则 的任一子列都收敛于 ,存在 的两个子列，其极限分别等于 的上极限和下极限.又 的任一子列都收敛于A ,
故这两个子列的极限都是A.所以
.充分性.设 ,由数列极限定义