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,即 ．
因为 所以 ，考察
，
，
当 时，至少存在一个正根 ，使 ；
当 时，不妨只考察 ，因为 ，并且
，
所以至少存在一个正根 ，使 ．
因此，方程 至少有一个正根，且不超过 .
例2 证明：若 ， 为正整数，则存在唯一正数 ，使
．
证明 先证存在性．由于当 时，有 ，故必存在正数 ，使得 .
因 在 上连续，并有 ，故由介值定理，至少存在一点
，使得 ．
再证唯一性．设正数 使得 ，则有
．
由于第二个括号内的数为正，所以只能 ,即 ．
例3 设 在闭区间 连续，满足 ．证明：存在 ，使得 ．
证明 由条件知：对任何 有 ，特别有 以及 ．
若 或 ，则取 或 ，从而 成立．
现设 与 令 ，则 ．源:自~751·论`文'网·www.751com.cn/
故由根的存在性定定理，存在 使得 即 ．
4 介值定理在解不等式中的应用
我们该当都知道，倘若原命题成立，则这个命题的逆否命题也必然成立的，故而我们不需要对逆否命题进行证明，事实上我们在利用介值定理解决解不等式的问题时，并非直接利用“根的存在定理”，却是应用的“根的存在定理”的逆否命题．接下来我们将给出根据根的存在定理得到的逆否命题和推论命题．
设函数 在某一区间 (也可指 、 、 )内有定义且连续．
(1)(1)（根的存在定理——逆否命题）假如方程在内没有根，那么函数的值在内就应保持相同的符号（正号或者负号)；