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摘要:本文对可测函数与连续函数的的关系进行了探讨,一方面,定义在可测集上的连续函数是可测函数,另一方面,几乎处处有限的可测函数”基本上”是连续函数. 正反方面的关系可以使读者对鲁津定理的理解更为深刻,这也是研究可测函数的有效工具.66013
毕业论文关键词: 连续函数,可测函数,鲁津定理
Abstract:In this paper, the relationship between measurable functions and continuous functions were discussed, on the one hand, the definition of a continuous function on the measurable set is measurable functions, on the other hand, almost everywhere finite measurable functions "substantially" continuous function relationship positive and negative aspects of Lu Jin can make the reader a more profound understanding of the theorem, which is an effective tool for the study of measurable functions.
Keywords: continuous functions, measurable functions, Lu Jin theorem
目 录
1 引言 4
2 预备知识 6
3 连续函数与可测函数的关系 6
3．1 连续函数的可测性8
3．2 可测函数的连续性 10
3.3复合函数的可测性 11
结论 12
参考文献 13
致谢 14
1 引言
在数学分析中连续函数是重点要学习的内容，从几何的直观角度来看，连续函数是平面坐标系上的一条连绵不断地曲线.然而我们不会仅仅满足于这种直观的认识,我们致力于函数连续性的准确定义，因而可以研究它的一些性质以及能否通过连续函数去认识和给出可测函数的刻画.我们知道若 是在集 上的有限函数，假设任意的 ，有 .使得任意的 ,有 ,那么就说 在点 连续.若 在 中的每一点都连续，那么 在 上连续.而实变函数主要研究的是定义在可测集上的可测函数，这类函数比较抽象，它不仅包括了数学分析中主要讨论的连续函数,其实也有很多有大量间断点的函数.在研究到连续函数与可测函数的关系时，我们是通过鲁津定理来说明的即设 是可测集 上的几乎处处有限的可测函数,则对任意的 > ，存在 的闭子集 ,使得 在 上连续,且 .对于鲁津定理的证明,本文给出了新的证明方法，从简单函数,非负可测函数,一般函数这三个方面证明，容易使我们接受,让我们对连续函数与可测函数的关系的理解更加透彻.连续函数与可测函数有着非常密切的关系,了解这种关系之后我们会发现对可测函数的理解会更加深刻,这也是我们深入研究可测函数的重要工具.来.自/751论|文-网www.751com.cn/
关于文中复合函数的可测性即设 是 上的连续函数, 是 上的可测函数,则 在 上可测.这其实就是对连续函数与可测函数的关系的更深一步的研究,它的证明我们在文中将详细给出.
2 预备知识
由于我们对连续函数的定义与性质比较熟悉,这里就不再赘述.下面将给出可测函数的定义及性质.我们要了解可测函数是利用可测集来定义的 设函数 在可测集 上有定义,记 ,这是函数 定义域的一个子集.
定义 设函数 在可测集 上有定义,如果对于任意的实数 ,集合 都是可测集,则称 为可测集 上的可测函数,或称 在 上可测.