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3) 是定义在 上的连续函数，且满足 ，则必存在 ，使 ．
证明 若 或 ，则取 或 ，从而 成立．
现设 ，令 ，则 ， ．
由于 是连续函数，故 也是连续函数．则由根的存在性定理，至少有一点 ，使 ，即 .
3 不动点原理的应用
3.1 在求方程解中的应用
由不动点的代数意义可知，欲证明 为方程 的根，只须说明 为 的不动点．
定理1[5] 若 是 的不动点，那么 也是 的不动点．文献综述
证明 是 的不动点，那么 ，故 ，从而命题
得证．
例1 求方程 的解．
解 方程即为 ，令 ，则问题可转化为确定函数 的不动点．
由定理1可知 的不动点也是 的不动点，而 的不动点为 ， ．故 必含因式 ， ．由多项式除法，有 ，从而可得方程的解为 ， ， ， ．
3.2 在数列通项中的应用
函数不动点在求数列通项公式中有广泛的应用，在高中阶段经常会利用函数不动点求数列的通项公式，对此有下面定理：
定理2 设 （ ），数列 满足 ，则有
．
证明 设 是函数 的不动点，得
（1）
又 （2）
（1）-（2）得 ．
令 ，求得函数 的不动点为 ．
故 ．
例2 已知正项数列 ，有 ， （ ）．求通项公式 ．
解 设 ，则 , 且 ．
令 ，得 ．则
．
从而数列 是以 为首项、 为公比的等比数列．故 ．
由 ，得 ，即 （ 为正整数）．来.自/751论|文-网www.751com.cn/
定理3[6] 设数列 满足 ，函数 ，且首项 ．
1)函数 有两个相异的不动点 、 ，则数列 是一个等比数列，且
；
2)函数 仅有一个不动点 ,且 ,则数列 是一个等差数列，且
．
证明 1）由函数 有两个相异的不动点 、 ，则有 ，得
．
即 ，则 ．
又因为 ，所以 ，即
．
同理可得