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dt 1x m
式（1.7）中， x 和 y 依次代表猎物种群和捕食者种群在 t 时刻的种群密度；
r 表示猎物的内禀增长率， d 为捕食者的死亡率。陈凤德教授证明了避难效应在 以式（1.7）构建的系统中依然可以起到稳定系统的作用。
Vlastimil 和 Krivan 研究了避难效应对捕食者与被捕食者共存的情况下的 影响[1]；F.Brauer 和 A.C.Soudak 研究了带有收获率的捕食者-被捕食者系统的稳 定区间并且取得了关于平衡点稳定性以及极限环是否存在的一些结论；陈兰荪教 授研究了存在常数收获率的 Volterra 系统，得出了该模型的正平衡点是全局渐 近稳定的，以及极限环是否存在的条件[8]；吴承强教授研究了成比例的捕获和常 数捕获对具有常数避难效应的 HollingII 型捕食者-被捕食者系统的稳定性影响, 通过具体的分析与计算，得到了该模型稳定性的条件以及达到最优捕获时需要满 足的条件[9]；张国栋团队研究了具有收获效应的捕食者-被捕食者系统的 Hopf 分 支,通过中心流形定理以及分岔的思想,研究了系统的稳定性和 Hopf 分支存在的 条件[10]。文献综述
2．模型分析
本文研究如下带有避难效应的 Leslie-Gower 模型：
x r1 a1 xx b1 mxy
y r
a2 r2 y
（2.1）
2 1mx k y
在式（2.1）中， x 和 y 依次代表猎物种群和捕食者种群在 t 时刻的种群密
度；a1 和 a2 依次为猎物和捕食者分别能够达到的最高平均出生率；r1 和 r2 分别为 猎物和捕食者各自的内禀增长率；b 为捕食者与食饵的种间竞争强度；(1-m)表 示了系统内的避难效应， mx 则表示为被避难效应所保护而免于被猎杀的食饵数
量；k 为捕食者除该系统中的猎物外由其他食物来源摄入的能量；各个基本参数
均大于 0 且 m 0,1。
该模型通过增加 k 项模拟了以多种食饵为食的捕食者的种群数量变化情况， 同时加入了二次死亡率，更加符合实际，具有很好的研究价值。
2.1 稳定性分析
a2 r2 y
设 f r1 a1 xx b1 mxy ， g r2 1 mx k y ，令 f
0 ， g 0 ，可
以得到四个平衡点，分别为
E 0 ,0 ； E
r
,0 ； E
k
0 ,
； E
x * , y *
1 2
2
a 2
其中 x* a2 r1 bk 1m， y* r1 1ma1k 。
b1 m2
a1a2
b1 m2
a1a2
先分析平衡点 E1 的稳定性。首先给出模型（2.1）的雅克比矩阵
f x r1 2a1 x b1 my