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我们记 中所有恰含 个 步， 个低参数和 个高参数的PDP的总数为 .注意，在本文中， （ ， ）为根据 步的数目以及被考查的参数（低参数，高参数）的数目给出的PDP的生成函数.
我们记 为所有 Dyck路中参数 的值之和，则我们有
在本文中，我们假设 中所有PDP的出现是等可能的，则参数 的期望为 .
下面我们给出有关Dyck路的一些定义以及定理证明中需要用到的引理.文献综述
定义1 Dyck路的非空子路称为一个串，子路所经过的步数称为串的长度.
例如，长为 的串有 .其中 称为峰， 称为谷.长为 的串有 .众所周知 ，半长为 且恰含 个谷的经典Dyck路的个数为Narayana数 .
定义2 如果一个串与直线 接触，则称其为低串，否则称其为高串.
引理1 （Lagrange反演定理） 设 是关于 的多项式，生成函数 满足函数方程
则此函数方程有唯一解 ，且
引理2 对于 ，
证 显然生成函数 满足Lagrange反演定理的条件，因此
引理3 当 为非负整数时，
证 对 使用数学归纳法.当 时，由广义牛顿二项式定理，我们有
当 时，由上述论证，我们有
假设命题对 均成立，则对于 ，由 的函数方程有
由归纳原理知，结论得证.
2 根据各种参数进行PDP计数
在本节中，我们主要研究有关长为 的串的统计数据.我们将先给出含有不同参数的PDP生成函数方程，然后应用拉格朗日反演定理给出其计数公式，最后我们将给出PDP中各参数值的数目及其期望估计.
2.1 的数目
由第一返回分解，每个非空经典Dyck路可唯一分解为
, 或者 .来~自^751论+文.网www.751com.cn/
从而，根据 步的数目（用 表示）以及 的数目（用 表示），我们可知经典Dyck路的生成函数 满足以下函数方程：
(2.1)
进而，我们有如下定理：
定理2.1 （1）对于 ，我们记 ，则
.
（2）对于 ，
且有
（3） 中串 的数目的期望值为
证 （1）由Lagrange反演定理，
从而
即有
.
（2）由最后返回分解，任意 可唯一分解为
或者 .
因此，当 时
类似地，我们可以得到当 时
当 时
整理即得